测度论

这本书旨在对测度论进行基础性讲解。

在数学中，测度的概念是对“长度”、“面积”和“体积”等概念的推广（但并非所有应用都与物理尺寸有关）。通俗地说，给定一个基集，一个“测度”是对基集（部分）子集的“大小”的任何一致分配。根据应用，子集的“大小”可以被解释为（例如）其物理尺寸、子集内某种事物的数量，或者某个随机过程产生子集内结果的概率。测度的主要用途是定义在比实数直线上的区间更复杂的结构域上进行一般性的积分概念。这种积分在概率论和许多数学分析中被广泛使用。

通常不可能或不可取地对基集的所有子集分配大小，因此测度并不一定这样做。有一些一致性条件来控制测度可以分配大小的子集组合；这些条件被封装在 σ-代数的辅助概念中。

• 可测函数空间
• 收敛定理
• 测度空间的态射和范畴
• Carathéodory 构造
• 拓扑空间上的测度
• Polish 空间上的测度
• 积分算子

测度论是实分析的一个分支，它研究 σ-代数、测度、可测函数和积分。

章节

1. 基本结构和定义
   1. 半代数、代数和 σ-代数
   2. 测度
   3. 可测函数
   4. 测度的扩张
   5. 测度空间的完备化
   6. 正则测度
2. 积分
3. Riesz 表示定理
4. L^p 空间

目录

1. 高级集合论
2. 代数和 σ-代数
3. 预测度和测度
4. 关于测度的定理
5. 乘法系、Dynkin 系
6. Carathéodory 定理和预测度的扩张
7. 可测函数、Lebesgue 积分
8. 关于 Lebesgue 积分的定理（给自己的一条提示：不要忘记变量变换，Leibniz 积分规则）
9. Lp 空间
10. Riesz 表示定理、Radon-Nikodym 定理

参考文献

• Bartle, Robert Gardner. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley, 1995. 192 p. ISBN 0471042226
• DiBenedetto, Emmanuele. Real Analysis. Springer, 2002. 420 p. ISBN 0817642315
• Folland, Gerald B.. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. 2.ed. 1999. 408 p. ISBN 0471317160
• Halmos, Paul Richard. Measure Theory. Springer, 1974. ISBN 0387900888
• Munroe, Marshall Evans. Introduction to Measure and Integration. 2.ed. Addison-Wesley, 1959. 310 p.
• Royden, M.. Real Analysis. New York: Collier Macmillan, 1988. ISBN 0024041513
• W. Rudin, Real and Complex analysis, 3.ed. McGraw-Hill International (1987). 430 p. ISBN 0070542341
• Lang, Serge. Analysis I. 3.ed. Addison-Wesley, 1973. 460 p.
• Tao, Terence: 测度论导论

积极贡献的用户

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  • 目前，在编写任何材料之前，我正在使用模板创建一种工作流程。
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  • 我在第一章的第一节添加了一些内容，包括对定义的“存在理由”的一些见解，以及对所展示的命题的重要性的一些评论。
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