测度论/积分

令$(X,\sigma ,\mu )$ 是一个$\sigma$-有限测度空间。假设$s$ 是一个正的简单可测函数，其中$s=\displaystyle \sum _{i=1}^{3}y_{i}\chi _{A_{i}}$；$A_{i}\in \sigma$ 是不相交的。

定义$\displaystyle \int _{X}s~d\mu =\sum y_{i}\mu (A_{i})$

令$f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ 是可测的，并且令$f\geq 0$.

定义$\displaystyle \int _{X}f~d\mu =\sup\{\int _{X}s~d\mu =\sum y_{i}\mu (A_{i})|s{\text{ simple }},s\geq 0,s\leq f\}$

现在令$f$ 是任何可测函数。我们说$f$ 是可积的，如果$f^{+}$ 和$f^{-}$ 是可积的，并且如果$\displaystyle \int _{X}f^{+}~d\mu ,\int _{X}f^{-}~d\mu <\infty$。然后，我们写

$\displaystyle \int _{X}f~d\mu =\int _{X}f^{+}~d\mu -\int _{X}f^{-}~d\mu$

在 $X$ 上的可测函数类用 ${\mathcal {L}}^{1}(X)$ 表示。

对于 $0<p<\infty$，我们定义 ${\mathcal {L}}^{p}$ 为所有满足 $|f|^{p}\in {\mathcal {L}}^{1}$ 的可测函数 $f$ 的集合。

如果一个性质在除测度为零的点集外的所有点上都成立，那么就说这个性质 **几乎处处** 成立。

性质

令 $(X,\sigma ,\mu )$ 是一个测度空间，并令 $f,g$ 在 $X$ 上可测。那么

1. 如果 $f\leq g$，那么 $\displaystyle \int _{X}fd\mu \leq \int _{X}gd\mu$
2. 如果 $A,B\in \sigma$，$A\subset B$，那么 $\displaystyle \int _{A}fd\mu \leq \int _{B}fd\mu$
3. 如果 $f\geq 0$ 且 $c\geq 0$，则 $\displaystyle \int _{X}cfd\mu =c\int _{X}fd\mu$
4. 如果 $E\in \sigma$，$\mu (E)=0$，则 $\displaystyle \int _{E}fd\mu =0$，即使 $f(E)=\{\infty \}$
5. 如果 $E\in \sigma$，$f(E)=\{0\}$，则 $\displaystyle \int _{E}fd\mu =0$，即使 $\mu (E)=\infty$

证明

单调收敛定理

假设 $f_{n}\geq 0$ 且 $f_{n}$ 对所有 $n$ 可测，使得

1. $f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \ldots$ 对于每个 $x\in X$
2. $f_{n}(x)\to f(x)$ 在 $X$ 上几乎处处成立

那么，$\displaystyle \int _{X}f_{n}d\mu \to \int _{X}fd\mu$

证明

$\displaystyle \int _{X}f_{n}d\mu$ 是 $\mathbb {R}$ 中的递增序列，因此，$\displaystyle \int _{X}f_{n}d\mu \to \alpha \in {\overline {\mathbb {R} }}$（假设）。我们知道 $f$ 是可测量的，并且 $f\geq f_{n}\forall n$。也就是说，

$\displaystyle \int _{X}f_{1}d\mu \leq \int _{X}f_{2}d\mu \leq \ldots \int _{X}f_{n}d\mu \leq \ldots \int _{X}fd\mu$

因此，$\displaystyle \alpha \leq \int _{X}fd\mu =\sup\{\int _{X}sd\mu :s{\text{ is simple }},0\leq s\leq 1\}$

令 $c\in [0,1]$

定义 $E_{n}=\{x|f_{n}(x)\geq cs(x)\}$; $n=1,2\ldots$. 观察到 $E_{1}\subset E_{2}\subset \ldots$ 并且 $\bigcup E_{n}=X$

假设 $x\in X$. 如果 $f(x)=0$ 那么 $s(x)=0$ 意味着 $x\in E_{1}$. 如果 $f(x)>0$, 那么存在 $n$ 使得 $f_{n}(x)>cs(x)$ 因此， $x\in E_{n}$.

因此， $\bigcup E_{n}=X$, 因此 $\displaystyle \int _{X}f_{n}(x)d\mu \geq \int _{E_{n}}f_{n}d\mu \geq c\int _{E_{n}}sd\mu$. 由于如果 $c\in [0,1]$, 这就成立了，我们有 $\alpha \geq \displaystyle \int _{X}fd\mu$. 因此， $\displaystyle \int _{X}f_{n}d\mu \to \int _{X}fd\mu$.

Fatou 引理

令 $f_{n}\geq 0$ 是可测函数。 那么，

$\displaystyle \int _{X}\liminf f_{n}d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{n}d\mu$

证明

对于 $k=1,2,\ldots$ 定义 $g_{k}(x)=\displaystyle \inf _{i\geq k}f_{i}(x)$。观察到 $g_{k}$ 是可测量的，并且对于所有的 $x$ 都是递增的。

当 $k\to \infty$ 时，$g_{k}(x)\to \displaystyle \liminf _{n\geq k}f_{n}(x)$。根据单调收敛定理，

$\displaystyle \int _{X}g_{k}d\mu \to \int _{X}\liminf f_{n}(x)d\mu$，并且由于 $\displaystyle \int _{X}g_{k}(x)d\mu \leq \liminf \int g_{k}(x)d\mu$，我们得到了结果。

控制收敛定理

令 $(X,\sigma ,\mu )$ 是一个复测度空间。令 $\{f_{n}\}$ 是一个复可测函数序列，这些函数逐点收敛到 $f$；$f(x)=\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$，其中 $x\in X$

假设存在 $|f_{n}(x)|\leq g(x)$，使得 $g\in {\mathcal {L}}^{1}(X)$，那么

$f\in {\mathcal {L}}^{1}$ 且当 $n\to \infty$ 时，$\displaystyle \int _{X}|f_{n}-f|d\mu \to 0$

证明

我们知道 $|f|\leq g$，因此 $|f_{n}-f|\leq 2g$，即 $0\leq 2g-|f_{n}-f|$

因此，根据 Fatou 引理，$\displaystyle \int _{X}2gd\mu \leq \liminf \int _{X}(2g-|f_{n}-f|)d\mu \leq \displaystyle \int _{X}2gd\mu +\liminf \int _{X}(-|f_{n}-f|)d\mu$

$=\displaystyle \int _{X}2gd\mu -\limsup \int _{X}|f_{n}-f|d\mu$

由于 $g\in {\mathcal {L}}^{1}$，$\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu \leq$，这意味着 $\displaystyle \limsup \int _{X}|f_{n}-f|d\mu$

定理

1. 假设 $f:X\to [0,\infty ]$ 是可测的，$E\in \sigma$，其中 $\mu (E)>0$，使得 $\displaystyle \int _{E}fd\mu =0$。那么 $f(x)=0$ 几乎处处在 $E$ 上。
2. 令 $f\in {\mathcal {L}}^{1}(X)$，并且令 $\displaystyle \int _{E}fd\mu =0$ 对于每一个 $E\in \sigma$ 成立。那么，$f=0$ 几乎处处在 $X$ 上。
3. 令 $f\in {\mathcal {L}}^{1}(X)$ 以及 $\displaystyle \left|\int _{X}fd\mu \right|=\int _{X}|f|d\mu$，那么存在一个常数 $\alpha$，使得 $|f|=\alpha f$ 几乎处处在 $E$ 上。

证明

1. 对于每一个 $n\in \mathbb {N}$，定义 $A_{n}=\{x\in E|f(x)>{\frac {1}{n}}\}$。观察到 $A_{n}\uparrow E$
   但 ${\frac {1}{n}}\mu (A_{n})\leq \displaystyle \int _{A_{n}}fd\mu \leq \int _{E}fd\mu =0$。因此 $\mu (A_{n})=0$ 对于所有 $n$，根据连续性，$f=0$ 在 $E$ 上几乎处处为零。
2. 写成 $\displaystyle \int _{E}fd\mu =\int _{E}u^{+}d\mu -\int _{E}u^{-}d\mu +i\left(\int _{E}v^{+}d\mu -\int _{E}v^{-}d\mu \right)$，其中 $u^{+},u^{-},v^{+},v^{-}$ 是非负实可测函数。
   此外，由于 $\displaystyle \int _{E}u^{+}d\mu ,\int _{E}(-u^{-})d\mu$ 都是非负的，它们各自为零。因此，应用第一部分，我们有 $u^{+},u^{-}$ 在 $E$ 上几乎处处为零。我们可以类似地证明 $v^{+},v^{-}$ 在 $E$ 上几乎处处为零。