测度论/L^p 空间

回想一下，一个 ${\mathcal {L}}^{p}$ 空间被定义为 ${\mathcal {L}}^{p}(X)=\{f:X\to \mathbb {C} :f{\text{ is measurable,}}\int _{X}|f|^{p}d\mu <\infty \}$

詹森不等式

设 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是一个概率测度空间。

设 $f:X\to \mathbb {R}$，$f\in {\mathcal {L}}^{1}$ 使得存在 $a,b\in \mathbb {R}$ 且 $a<f(x)<b$

如果 $\phi$ 是一个在 $(a,b)$ 上的凸函数，那么，

$\displaystyle \phi \left(\int _{X}fd\mu \right)\leq \int _{X}\phi \circ fd\mu$

证明

令 $t=\displaystyle \int _{X}fd\mu$。由于 $\mu$ 是一个概率测度，$a<t<b$

令 $\beta =\sup\{{\frac {\phi (t)-\phi (s)}{t-s}}:a<s<t<b\}$

令 $t<u<b$；那么 $\beta \leq \displaystyle {\frac {\phi (u)-\phi (t)}{u-t}}$

因此，$\displaystyle {\frac {\phi (t)-\phi (s)}{t-s}}\leq {\frac {\phi (u)-\phi (t)}{u-t}}$，也就是说$\phi (t)-\phi (s)\leq \beta (t-s)$

令$s=f(x)$

$\phi \left(\int _{X}fd\mu \right)-\phi f(x)\leq \beta \left(f(x)-\int _{X}fd\mu \right)$，这就完成了证明。

推论

1. 令$\phi (x)=e^{x}$，
   $\displaystyle e^{(\int _{X}fd\mu )}\leq \int _{X}e^{f}d\mu$

1. 如果$X$是有限的，$\mu$是计数测度，如果$f(x_{i})=p_{i}$，那么
   $\displaystyle e^{\left({\frac {p_{1}+\ldots +p_{n}}{n}}\right)}\leq {\frac {1}{n}}\left(e^{p_{1}}+e^{p_{2}}+\ldots +e^{p_{n}}\right)$

对于每个$f\in {\mathcal {L}}^{p}$，定义$\|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$

Holder 不等式

令 $1<p,q<\infty$ 使得 $\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$。令 $f\in {\mathcal {L}}^{p}$ 且 $g\in {\mathcal {L}}^{q}$。

那么，$fg\in {\mathcal {L}}^{1}$ 且

$\|fg\|\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}$

证明

我们知道 $\log$ 是一个凹函数

令 $0\leq t\leq 1$，$0<a<b$。那么 $t\log a+(1-t)\log b\leq \log(at+b(1-t))$

也就是说，$a^{t}b^{1-t}\leq ta+(1-t)b$

令 $t={\frac {1}{p}}$，$a=\left({\frac {|f|}{\|f\|_{p}}}\right)^{p}$，$b=\left({\frac {|f|}{\|f\|_{q}}}\right)^{q}$

$\displaystyle {\frac {|f|}{\|f\|_{p}}}{\frac {|g|}{\|g\|_{q}}}\leq {\frac {1}{p}}{\frac {|f|^{p}}{\|f\|_{p}^{p}}}+{\frac {1}{q}}{\frac {|g|^{q}}{\|g\|_{q}^{q}}}$

然后，$\displaystyle {\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{q}}}\int _{X}|f||g|d\mu \leq {\frac {1}{p\|f\|_{p}^{p}}}\int _{X}|f|^{p}d\mu +{\frac {1}{p\|g\|_{q}^{q}}}\int _{X}|g|^{q}d\mu =1$，

证明了结果。

推论

如果 $\mu (X)<\infty$，$1<s<r<\infty$ 那么 ${\mathcal {L}}^{r}\subset {\mathcal {L}}^{s}$

证明

令 $\phi \in {\mathcal {L}}^{s}$，$p={\frac {r}{s}}\geq 1$，$g\equiv 1$

然后，$f=|\phi |^{s}\in {\mathcal {L}}^{1}$，因此 $\displaystyle \int _{X}|\phi |^{s}d\mu \leq \left(\int _{X}\left(|\phi |^{s}\right)^{\frac {r}{s}}d\mu \right)^{\frac {s}{r}}\mu (X)^{1-{\frac {s}{r}}}$

我们说如果 $f,g:X\to \mathbb {C}$，$f=g$ *几乎处处* 在 $X$ 上，如果 $\mu (\{x|f(x)\neq g(x)\})=0$。观察到这在 ${\mathcal {L}}^{p}$ 上是一个等价关系。

如果 $(X,\Sigma ,\mu )$ 是一个测度空间，定义空间 $L^{p}$ 为 ${\mathcal {L}}^{p}$ 中所有函数的等价类的集合。

定理

具有 $\|\cdot \|_{p}$ 范数的 $L^{p}$ 空间是一个赋范线性空间，即

1. $\|f\|_{p}\geq 0$ 对于每个 $f\in L^{p}$，此外，$\|f\|_{p}=0\iff f=0$
2. $\|\lambda \|_{p}=|\lambda |\|f\|_{p}$
3. $\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$ ... （闵可夫斯基不等式）

证明

1. 和 2. 很清楚，所以我们只证明 3。情况 $p=1$ 和 $p=\infty$ （见下文）是显而易见的，所以假设 $0<p<\infty$ 并设 $f,g\in L^{p}$ 是给定的。Hölder 不等式给出以下结果，其中 $q$ 被选中使得 $1/q+1/p=1$ 使得 $p/q=p-1$

$\displaystyle \int _{X}|f+g|^{p}d\mu =\int _{X}|f+g|^{p-1}|f+g|d\mu \leq \int _{X}|f+g|^{p-1}(|f|+|g|)d\mu$

$\leq \displaystyle \left(\int _{X}|f+g|^{(p-1)q}d\mu \right)^{\frac {1}{q}}\|f\|_{p}+\left(\int _{X}|f+g|^{(p-1)q}d\mu \right)^{\frac {1}{q}}\|g\|_{p}=\|f+g\|_{p}^{\frac {p}{q}}\|f\|_{p}+\|f+g\|_{p}^{\frac {p}{q}}\|g\|_{p}.$

此外，由于 $t\mapsto t^{p}$ 当 $p>1$ 时是凸的，

$\displaystyle {\frac {|f+g|^{p}}{2^{p}}}=\left|{\frac {f}{2}}+{\frac {g}{2}}\right|^{p}\leq \left({\frac {|f|}{2}}+{\frac {|g|}{2}}\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}|f|^{p}+{\frac {1}{2}}|g|^{p}.$

这表明 $\|f+g\|_{p}<\infty$，因此我们可以用它除以前面的计算结果来得到 $\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$。

定义空间 $L^{\infty }=\{f|X\to \mathbb {C} ,f{\text{ is bounded almost everywhere}}\}$。此外，对于 $f\in L^{\infty }$ 定义 $\|f\|_{\infty }=\sup\{|f(x)|:x\notin E\}$