测度论/波兰空间上的测度

定理（冯·诺依曼关于代数映射的大定理）:

设$\Omega ,\Psi$是属于外正则测度空间$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$和$(\Psi ,{\mathcal {G}},\lambda )$的波兰空间。假设$\phi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$是一个代数映射，使得对于所有$D\in {\mathcal {G}}$，都存在一个$A\in {\mathcal {F}}$使得$\lambda (\phi (A)\Delta D)=0$。那么存在$\Omega '\subseteq \Omega$和$\Psi '\subseteq \Psi$，使得$\mu (\Omega \setminus \Omega ')=\lambda (\Psi \setminus \Psi ')=0$，以及一个双射函数$f:\Omega '\to \Psi '$，使得

1. 对于$A\in {\mathcal {F}}$，$\lambda (f(A\cap \Omega ')\Delta \phi (A))=0$，并且

2. 对于 $D\in {\mathcal {G}}$，$\mu (f^{-1}(D\cap \Psi ')\delta A)=0$，其中 $A\in {\mathcal {F}}$ 是任何满足 $\lambda (\phi (A)\Delta D)=0$ 的集合。

证明：首先，我们写

$\Omega =\bigsqcup _{n\in \mathbb {N} }K_{n}\cup N_{1}$,

其中 $N_{1}$ 是一个零测集，并且每个 $K_{j}$ 都是闭集且直径 $\leq 1$。然后写 $J_{j}':=\phi (K_{j})$ 和 $J_{j}:={\overline {J_{j}'}}$。然后我们写

$\Psi =\bigsqcup _{n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} }J_{n_{1},n_{2}}\cup M_{2}$,

其中$J_{n_{1},n_{2}}\subseteq J_{n_{1}}$是闭集，并且每个$J_{n_{1},n_{2}}$的直径$\leq 1/2$。然后设$K_{n_{1},n_{2}}'$为一个集合，使得$\lambda (\phi (K_{n_{1},n_{2}}')\Delta J_{n_{1},n_{2}})=0$，并且$K_{n_{1},n_{2}}$为其闭包。

继续这种“乒乓”游戏，我们得到嵌套序列$K_{n_{1},\ldots ,n_{k}}$和$J_{n_{1},\ldots ,n_{k}}$，它们依赖于不同数量的索引。此外，如果我们设

$N:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }N_{k}$和$M:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }M_{k}$，

然后 $\mu (N)=\lambda (M)=0$，因此对于任何给定的指标数量，相应的嵌套集序列 $K$ 或 $J$ 几乎覆盖了整个 $\Omega$ 或 $\Psi$，这取决于指标数量是偶数还是奇数。定义 $\Omega ':=\Omega \setminus N$ 和 $\Psi ':=\Psi \setminus M$。然后定义一个函数 $f:\Omega '\to \Psi '$ 如下：如果 $x\in \Omega '$，则对于任何给定的指标数量 $k$，存在唯一一个 $K_{n_{1},\ldots ,n_{k}}$ 包含 $x$。此外，$\Box$