测度理论/态射和测度空间的范畴

有几个范畴的对象是测度空间。自然地，它们是由态射的选择决定的。

定义（可测的）:

一个函数$f:\Omega \to \Delta$，其中$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$和$(\Delta ,{\mathcal {G}},\lambda )$是测度空间，称为可测的当且仅当对于每个$D\in {\mathcal {G}}$，我们有$f^{-1}(D)\in {\mathcal {F}}$.

定义（测度空间的标准范畴）:

测度空间的标准范畴是该范畴，其对象是测度空间，而态射是可测函数。

定义（代数映射）:

令$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$和$(\Delta ,{\mathcal {G}},\lambda )$是测度空间。从$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$到$(\Delta ,{\mathcal {G}},\lambda )$的代数映射是一个函数$\phi :{\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}$使得$\lambda (\phi (A))=\mu (A)$对于所有$A\in {\mathcal {F}}$，而且，对于$A,A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}$

1. $\phi (\emptyset )=\emptyset$ 以及 $\phi (\Omega )=\Delta$
2. $\phi \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\phi (A_{n})$
3. $\phi (\Omega \setminus A)=\Delta \setminus \phi (A)$.

定义（测度空间的代数映射范畴）:

测度空间的代数映射范畴是指一个范畴，其对象是测度空间，其态射是代数映射。

定义（测度保持）:

一个函数 $f:\Omega \to \Delta$，其中 $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ 和 $(\Delta ,{\mathcal {G}},\lambda )$ 是测度空间，称为测度保持当且仅当它可测且 $\mu (f^{-1}(D))=\lambda (D)$ 对于所有 $D\in {\mathcal {G}}$ 成立。

定义（测度空间的备选范畴）:

测度空间的标准范畴是指一个范畴，其对象是测度空间，其态射是测度保持函数。