设
为局部紧致 Hausdorff 空间,并设
为
上的正线性泛函。 那么,存在一个
-域
包含
的所有 Borel 集,以及一个唯一的测度
使得
对所有 
对所有紧致 
- 如果
,且
,则 
- 如果
,且
,则 
- 度量空间
是完备的。
证明
回顾Urysohn引理
如果
是局部紧Hausdorff空间,并且如果
是开的,并且
是紧致的,并且有
,那么
存在
且
,满足
且
。简记为

我们首先证明,如果这样的度量存在,那么它是唯一的。假设
是满足 (1) 到 (5) 的度量
只需要证明对于任何紧致集
,都有 
设
是紧致的,并且令
是给定的。
根据 (3),存在开集
,满足
,使得 
Urysohn 引理表明存在一个
,使得 
(1) 意味着
。但是
,也就是说
。类似地,我们可以证明
。因此,
假设
在
中是开集,定义 
如果
是开集,那么 
如果
是
的子集,则定义 
定义 
令 
的单调性对于
的所有子集都是显而易见的。
令
且 
显然,
,这意味着
。因此,我们有
是完备的。
假设
是
的子集序列。那么,
证明
设
是
的开子集。我们希望证明
.
给定
,设
使得
(因此
)且
。这是可能的,因为
.
现在根据乌雷松引理,我们可以找到
,
,使得
且
在
上,其中
.
因此,
并且
在
上。
由于
是线性泛函,对于所有
,
因此,对于每个
,
,即 
如果
是
中元素的序列,存在开集
,使得给定
,
。定义
,
是开集。令
。那么
但 
因此,
如果
是紧集,那么
并且 
证明
只需证明对于所有紧集
有 
令
并且
,定义
那么
是开集,并且 
然后,根据乌雷松引理,存在
使得
,因此,
在
上成立。
由于
[1][2],我们有 
由于
,我们有
因此,
设
为
根据定义,存在开集
使得 
根据乌雷松引理,存在
使得
,这意味着
,即
.
因此,
每个开集
满足
如果
是开集且
,
,则 
证明
设
为开集。设
使得
。只需证明存在紧致集
使得
。
根据
的定义,存在
使得
且 
设
。显然
。
设
是一个开集,使得
,则
,因此
,此外 
因此,
假设
是
中一列两两不相交的集合,并设
。那么,
证明
如果
,根据步骤 1,我们就完成了。
如果
是有限的,那么,
,因此,
在
上是可数可加的。
假设,
是不相交的紧集,那么
;
断言:
由于
是一个局部紧致 Hausdorff 空间,存在不相交的开集
,
,其中
,
因此,根据 Urysohn 引理,存在
使得
且 
现在,
且
,
因此,
假设
。给定
,存在紧致集
使得 
设
。显然,
是紧致的。
因此,
因此,
。根据步骤 1,我们有
。
因此,
如果
且
,则存在紧致集
和开集
使得
且 
证明
是开集。由于
,存在紧致集
和开集
使得
,且
现在,
(由步骤 4 得出)
因此,
是
的子集域。
证明
设
并且设
是给定的。
存在紧致的
和开放的
使得
,
并且
写成 
由于
是
的闭子集,因此它是紧致的。
那么,
因此,
是有限的,因此,
现在写 
和 
是一个包含所有 Borel 集的
-域
证明
设
是闭集
那么,对于每个紧致的
,
是紧致的
因此
,因此
(根据定义),因此,
包含所有闭集。特别地,
设
。那么,
且
,因此,
现在设
,其中 
我们知道对于任何紧集
,都有
。
令
,
。
,但
,因此
。
证明
令
。那么对于任何紧集
,都有
。
现在,设
,
。给定
,存在开集
使得
,
,也就是说,
。此外,存在紧集
使得 
意味着
,也就是说,存在紧集
使得
因此,
意味着 
由于
是任意的,因此证明完毕。
对于
,
证明
不失一般性,我们可以假设
是实值的。
从
的定义可以明显看出 
令
。因此,由于
是连续的,
是紧致的。我们可以写成
对于某些
。令
。令
是
-精细划分 ![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
令
。由于
是连续的,
是紧致的,
对于每个
都是可测的,因此,
因此,我们可以找到开集
使得 
对所有 
我们知道,如果紧凑的
其中
是开集,那么存在
满足
且
在
上。
因此,存在函数
使得
在
上。
因此,
对所有 
到步骤 2,我们有 
在每个 
因此,
由于
是任意的,所以有
,这完成了证明。
- ↑ https://4dspace.mtts.org.in/expository-article-download.php?ai=160
- ↑ https://laurent.claessens-donadello.eu/pdf/giulietta.pdf,搜索标签 THOooTWZWooHqGDAx。