现代物理学/势动量

势动量

在经典物理学中，我们知道运动学通常可以用势能来描述。现在我们已经看到，在相对论中，能量只是动量四维矢量的时间分量，因此我们应该期望势能也是如此。为了了解它是如何工作的，我们将从经典情况类比推理。

对于一个质量为m的自由非相对论粒子，总能量E等于动能K，并且与粒子的动量Π的关系为

$E=K={\frac {|{\boldsymbol {\Pi }}|^{2}}{2m}}\qquad {\mbox{(自由，非相对论)}}.$

在非相对论情况下，动量为Π= mv，其中v是粒子速度。

如果粒子不是自由的，而是受到与势能U(x,y,z)相关的力的作用，则该方程必须进行修改以说明U对总能量的贡献

$E-U=K={\frac {|{\boldsymbol {\Pi }}|^{2}}{2m}}\qquad {\mbox{(非自由，非相对论)}}.$

作用在粒子上的力与势能的关系为

$\mathbf {F} =-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right).$

对于自由的相对论粒子，我们有

$E=(|{\boldsymbol {\Pi }}|^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})^{1/2}\qquad {\mbox{(自由，相对论)}}.$

在相对论情况下，添加力的显而易见的方法是通过用势能重写这个方程

$E-U=(|{\boldsymbol {\Pi }}|^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})^{1/2}\qquad {\mbox{(不完整！)}}.$

但是 ${\boldsymbol {\Pi }}=(\Pi ,E/c)$ 是一个四维矢量，因此从该四维矢量的单个分量中减去某物的方程不是相对论不变的。换句话说，这个方程不符合相对论原理，因此不可能是正确的！

我们如何解决这个问题？一种方法是定义一个新的四维矢量，其中U/c是它的类时分量，而某个新的矢量Q是它的类空分量

${\underline {Q}}\equiv (\mathbf {Q} ,U/c)\qquad {\mbox{(势动量四维矢量)}}.$

然后，我们从动量Π中减去Q。当我们这样做时，方程 (13.5) 变为

$E-U=(|{\boldsymbol {\Pi }}-\mathbf {Q} |^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})^{1/2}\qquad {\mbox{(非自由，相对论)}}.$

量Q被称为势动量，而Q则是势四动量。

如果 |Π-Q|远小于mc，则近似为

$E=mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\Pi }}-\mathbf {Q} \right)^{2}$

这种能量表达式与我们针对经典速度相关力所研究的哈密顿量形式相同，因此我们知道当满足条件时，它预测了垂直于速度的力。事实证明，即使条件不满足，它也是垂直的。

在经典物理学中，势动量是一个可选的额外量。在相对论中，它是任何势场的必要组成部分。

一些额外的术语很有用。我们定义

$\mathbf {p} \equiv {\boldsymbol {\Pi }}-\mathbf {Q} \qquad {\mbox{(kinetic momentum}})$

作为动量，因为在经典情况下它简化为mv。为了避免混淆，我们将Π重命名为总动量。因此，总动量等于动量加上势动量，与能量类似。