分子模拟/复制交换分子动力学

肽折叠的复制交换分子动力学模拟。最低温度副本以粗体标记。

一个复制交换分子动力学模拟，其中有 4 个在不同温度下的副本。在交换尝试之间完成 m 步分子动力学。

复制交换分子动力学涉及对一个系统的多个 ($N$) 副本进行同时模拟，每个副本对于某个控制变量具有不同的值。平行回火是一种复制交换方法，其中温度用作控制参数。一组温度分配给 $N$ 个系统的副本，满足 $T_{N}>T_{N-1}>\dots >T_{1}$。独立系统的概率分布取决于系统中所有原子的构型 $(\mathbf {R} )$ 以及 $\mathbf {R} _{1},\mathbf {R} _{2},\dots ,\mathbf {R} _{N}$ 代表 $N$ 个系统的副本的完整构型集。复制交换模拟是在正则系综 (NVT) 系统上进行的。尝试交换相邻副本对之间的坐标，并根据 Metropolis Monte Carlo 准则接受或拒绝尝试的移动。

图示了在 4 个不同温度下的副本上进行的复制交换模拟。在交换尝试之间，对每个单独的副本进行 m 步 MD。进行了副本 3 和 4 之间的第一次尝试交换，$(\mathbf {R} _{3},\mathbf {R} _{4})\rightarrow ({\tilde {\mathbf {R} }}_{3},{\tilde {\mathbf {R} }}_{4})$，尝试交换被接受，${\tilde {\mathbf {R} }}_{3}=\mathbf {R} _{4}$ 以及 ${\tilde {\mathbf {R} }}_{4}=\mathbf {R} _{3}$。副本 1 和 2 之间的尝试交换被拒绝，因此，$(\mathbf {R} _{1},\mathbf {R} _{2})\rightarrow ({\tilde {\mathbf {R} }}_{1},{\tilde {\mathbf {R} }}_{2})$ 其中 ${\tilde {\mathbf {R} }}_{1}=\mathbf {R} _{1}$ 以及 ${\tilde {\mathbf {R} }}_{2}=\mathbf {R} _{2}$。

优点

复制交换分子动力学的目的是确保高温构型能够轻松越过势能面上的势垒。低温复制体对最低能量最小值进行采样，而高温复制体能够对整个表面进行采样，从而使低温构型在高温下变得更容易获取。此外，传统的分子动力学或蒙特卡罗方法在计算平衡性质时表现出极其缓慢的收敛性，因此，构型需要很长时间才能逃脱局部最小值，因为越过高度为 $q^{\ddagger }$ 的势垒的概率与 $\exp \left(-{\frac {q^{\ddagger }}{k_{B}T}}\right)$ 成正比。复制交换方法通过使越过能量势垒变得更容易，提高了采样效率。

接受概率

模拟两个 NVT 系统，其中第二个模拟在更高的温度 $T_{2}>T_{1}$ 下进行恒温控制。

系统 1 的概率分布

${\begin{aligned}P_{1}(\mathbf {R} _{1})={\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{1})/k_{B}T_{1}\right)}{\int \exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {r} )/k_{B}T_{1}\right)d\mathbf {r} }}\\\end{aligned}}$

$\mathbf {R} _{1}$ 表示系统 1 中所有原子的坐标。

系统 2 的概率分布

${\begin{aligned}P_{2}(\mathbf {R} _{2})={\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{2})/k_{B}T_{2}\right)}{\int \exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {r} )/k_{B}T_{2}\right)d\mathbf {r} }}\\\end{aligned}}$

$\mathbf {R} _{2}$ 表示系统 2 中所有原子的坐标。

系统 1 具有坐标 $\mathbf {R} _{1}$ 且系统 2 具有坐标 $\mathbf {R} _{2}$ 的概率

${\begin{aligned}P_{1}(\mathbf {R} _{1})P_{2}(\mathbf {R} _{2})={\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{1})/k_{B}T_{1}\right)}{\int \exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {r} )/k_{B}T_{1}\right)d\mathbf {r} }}{\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{2})/k_{B}T_{2}\right)}{\int \exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {r} )/k_{B}T_{2}\right)d\mathbf {r} }}\\\end{aligned}}$

系统 1 的坐标为 $\mathbf {R} _{2}$，系统 2 的坐标为 $\mathbf {R} _{1}$ 的概率。

${\begin{aligned}P_{1}(\mathbf {R} _{2})P_{2}(\mathbf {R} _{1})&={\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{2})/k_{B}T_{1}\right)}{\int \exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {r} )/k_{B}T_{1}\right)d\mathbf {r} }}{\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{1})/k_{B}T_{2}\right)}{\int \exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {r} )/k_{B}T_{2}\right)d\mathbf {r} }}\\\end{aligned}}$

接受系统 1 和 2 之间尝试交换坐标的概率变为

${\begin{aligned}{\frac {P_{\textit {swapped}}}{P_{\textit {old}}}}&={\frac {{\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{2})/k_{B}T_{1}\right)}{\int \exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {r} )/k_{B}T_{1}\right)d\mathbf {r} }}{\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{1})/k_{B}T_{2}\right)}{\int \exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {r} )/k_{B}T_{2}\right)d\mathbf {r} }}}{{\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{1})/k_{B}T_{1}\right)}{\int \exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {r} )/k_{B}T_{1}\right)d\mathbf {r} }}{\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{2})/k_{B}T_{2}\right)}{\int \exp \left(-{\mathcal {V}}(\mathbf {r} )/k_{B}T_{2}\right)d\mathbf {r} }}}}\\&={\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}\left(\mathbf {R} _{2}\right)/k_{B}T_{1}\right)}{\exp \left(-{\mathcal {V}}\left(\mathbf {R} _{1}\right)/k_{B}T_{1}\right)}}{\frac {\exp \left(-{\mathcal {V}}\left(\mathbf {R} _{1}\right)/k_{B}T_{2}\right)}{\exp \left(-{\mathcal {V}}\left(\mathbf {R} _{2}\right)/k_{B}T_{2}\right)}}\\&=\exp \left({\frac {-{\mathcal {V}}\left(\mathbf {R} _{2}\right)}{k_{B}T_{1}}}\right)\exp \left({\frac {+{\mathcal {V}}\left(\mathbf {R} _{1}\right)}{k_{B}T_{1}}}\right)\exp \left({\frac {-{\mathcal {V}}\left(\mathbf {R} _{1}\right)}{k_{B}T_{2}}}\right)\exp \left({\frac {+{\mathcal {V}}\left(\mathbf {R} _{2}\right)}{k_{B}T_{2}}}\right)\\&=\exp \left({\frac {[-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{2})+{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{1})]}{k_{B}T_{1}}}\right)\exp \left({\frac {[-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{1})+{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{2})]}{k_{B}T_{2}}}\right)\end{aligned}}$

令 $\Delta {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{2})-{\mathcal {V}}(\mathbf {R} _{1})$

${\begin{aligned}{\frac {P_{\textit {swapped}}}{P_{\textit {old}}}}&=\exp \left({\frac {-\Delta {\mathcal {V}}}{k_{B}T_{1}}}\right)\exp \left({\frac {+\Delta {\mathcal {V}}}{k_{B}T_{2}}}\right)\\&=\exp \left({\frac {-\Delta {\mathcal {V}}}{k_{B}T_{1}}}+{\frac {\Delta {\mathcal {V}}}{k_{B}T_{2}}}\right)\\&=\exp \left(-\Delta {\mathcal {V}}\beta _{1}+\Delta {\mathcal {V}}\beta _{2}\right)\\&=\exp \left(-\Delta {\mathcal {V}}\left[\beta _{1}-\beta _{2}\right]\right)\\\end{aligned}}$

其中$\beta _{1}={\frac {1}{k_{B}T_{1}}}$ 以及 $\beta _{2}={\frac {1}{k_{B}T_{2}}}$.

${\begin{aligned}P_{\textit {acceptance}}={\text{min}}\left[1,\exp \left(-\Delta {\mathcal {V}}\left({\frac {1}{k_{B}T_{1}}}-{\frac {1}{k_{B}T_{2}}}\right)\right)\right]\\\end{aligned}}$