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扭转弹簧常数和侧向弹簧常数之间的关系存在争议。请查看 ("原子力显微镜悬臂梁的正常和扭转弹簧常数" Green, Christopher P. and Lioe, Hadi and Cleveland, Jason P. and Proksch, Roger and Mulvaney, Paul and Sader, John E., Review of Scientific Instruments, 75, 1988-1996 (2004), DOI:http://dx.doi.org/10.1063/1.1753100 ) 和 ("原子力显微镜中的侧向力校准：一种新的侧向力校准方法和优化的一般指南" Cannara, Rachel J. and Eglin, Michael and Carpick, Robert W., Review of Scientific Instruments, 77, 053701 (2006), DOI:http://dx.doi.org/10.1063/1.2198768 ) 获取详细信息。
典型的 AFM 设置。微加工悬臂梁的偏转，其尖端通过在样品表面扫描时反射从悬臂梁背面反射的激光束来测量。
AFM 中使用大量技术来测量形貌并研究纳米尺度的表面力
用于成像样品形貌
接触模式，其中尖端与基底接触。提供高分辨率，但可能会损坏脆弱的表面。
轻敲/间歇接触模式 (ICM)，其中尖端振荡并轻敲表面。
非接触模式 (NCM)，其中尖端振荡但不接触样品。 用于测量表面特性（并成像它们）
侧向力显微镜 (LFM)，当尖端侧向扫描时，它会倾斜，这可以通过光电探测器测量。此方法用于测量纳米尺度的摩擦力。
力调制显微镜。快速上下移动尖端，同时将其压入样品，可以测量表面的硬度并对其进行机械表征。
电场力显微镜。如果表面存在不同量的电荷，则悬臂梁会因吸引和排斥而发生偏转。开尔文探针显微镜通常比测量静态偏转更灵敏。开尔文探针显微镜。通过在非接触模式下对振荡悬臂梁施加振荡电压并测量感应的电荷振荡，可以绘制表面电荷分布图。
双扫描方法 - 下面介绍的另一种开尔文探针方法。
磁力显微镜。如果悬臂梁已磁化，它将根据样品的磁化强度发生偏转。
力谱或力距离曲线。上下移动悬臂梁以接触并压入样品，可以测量力随距离的变化。
纳米压痕。当悬臂梁深深地压入样品时，它可能会留下压痕，并且在进行压痕时，力距离曲线可以说明屈服强度、弹塑性变形动力学。
液体样品 AFM。通过将悬臂梁浸入液体中，也可以对湿样品进行成像。第一次很难获得良好的激光对准。
电化学 AFM。
扫描门 AFM
纳米光刻
典型的 AFM 悬臂梁的 SEM 图像 原子力显微镜的力测量：技术、解释和应用。表面科学报告 59 (2005) 1–152，作者：Hans-Jurgen Butt、Brunero Cappella 和 Michael Kappl。152 页，对不同环境中的力和相互作用进行了广泛的回顾，以及如何使用 AFM 测量和控制这些力。 悬臂梁的宽度为 w，厚度为 t，长度为 L，从悬臂梁中间到尖端的尖端高度为 h。
AFM 悬臂梁的典型几何形状。长度 l、厚度 t、宽度 w 和尖端高度 h 从梁的中间测量 当悬臂梁在 z 方向上受点力 F N {\displaystyle F_{N}} [ 1]
z ( x ) = 1 2 F N L E I ( x 2 − 1 3 L x 3 ) {\displaystyle z(x)={\frac {1}{2}}{\frac {F_{N}L}{EI}}\left(x^{2}-{\frac {1}{3L}}x^{3}\right)}
悬臂梁长度为 L {\displaystyle L} E {\displaystyle E} I {\displaystyle I}
悬臂梁的尖端偏转为
Δ z = z ( L ) = 1 3 F N E I L 3 {\displaystyle \Delta _{z}=z\left(L\right)={\frac {1}{3}}{\frac {F_{N}}{EI}}L^{3}}
得到弹簧常数 k N {\displaystyle k_{N}}
F N = k N Δ z {\displaystyle F_{N}=k_{N}\Delta _{z}}
因此
k N = 3 E I L 3 {\displaystyle k_{N}=3{\frac {EI}{L^{3}}}}
悬臂梁在x-z平面上尖端的角度 θ x {\displaystyle \theta _{x}}
θ N = z ′ ( L ) {\displaystyle \theta _{N}=z^{\prime }\left(L\right)}
z ′ ( x ) = 1 2 F L E I ( 2 x − 1 L x 2 ) {\displaystyle z^{\prime }\left(x\right)={\frac {1}{2}}{\frac {FL}{EI}}\left(2x-{\frac {1}{L}}x^{2}\right)}
z ′ ( L ) = 1 2 F E I L 2 = 3 2 z ( L ) L {\displaystyle z^{\prime }\left(L\right)={\frac {1}{2}}{\frac {F}{EI}}L^{2}={\frac {3}{2}}{\frac {z\left(L\right)}{L}}}
铰接梁和固定梁的偏转角与悬臂梁尖端之间的差异。固定梁将产生更大的偏转信号 得到关系
θ N = 3 2 Δ z L {\displaystyle \theta _{N}={\frac {3}{2}}{\frac {\Delta _{z}}{L}}}
尖端偏转距离和尖端偏转角度之间。这比我们预期梁在底部刚性铰接时的结果大3/2，表明当梁弯曲时，我们得到的激光束偏转比其笔直时更大。
AFM 悬臂梁，带偏转角和探测器设置。来自样品 Z 形貌的 Z 偏转在 xz 平面上产生偏转，并由顶部和底部探测器对测量。悬臂梁上的侧向力会产生扭转（yz 平面的偏转和左右探测器信号）以及 xy 平面的侧向偏转，探测器无法测量。 悬臂梁可以以多种方式弯曲，这可以通过大多数 AFM 配备的象限光电探测器来检测。正常形貌信号由悬臂梁尖端在 x-z 方向上的“正常”偏转给出， θ x z = θ N , {\displaystyle \theta _{xz}=\theta _{N,}} V L R = V 1 + V 3 − V 2 − V 4 {\displaystyle V_{LR}=V_{1}+V_{3}-V_{2}-V_{4}}
施加在尖端上的侧向力也会使悬臂梁在 x-y 和 x-z 平面弯曲。侧向偏转不能被象限检测器检测到，因为它不会改变激光束偏转，并且偏转也很小，我们将在后面看到。侧向力也会使悬臂梁尖端扭转，在 y-z 方向产生扭转偏转， θ y z = θ t o r , {\displaystyle \theta _{yz}=\theta _{tor},} V L R = V 1 + V 2 − V 3 − V 4 . {\displaystyle V_{LR}=V_{1}+V_{2}-V_{3}-V_{4}.}
对于 z 方向的偏转，“正常”弹簧常数将力与偏转联系起来， F N = k N Δ z {\displaystyle F_{N}=k_{N}\Delta _{z}}
k N = 1 4 Y w t 3 L 3 {\displaystyle k_{N}={\frac {1}{4}}Y{\frac {wt^{3}}{L^{3}}}}
用偏转角表示， θ N = 3 2 Δ z L , {\displaystyle \theta _{N}={\frac {3}{2}}{\frac {\Delta _{z}}{L}},}
F N = c N θ N {\displaystyle F_{N}=c_{N}\theta _{N}}
其中 c N = 2 3 k N L {\displaystyle c_{N}={\frac {2}{3}}k_{N}L}
AFM 悬臂梁和作用在尖端和样品之间的力。 如果一个振荡器受到吸引力，将它从静止位置拉开，则谐振频率会下降（在突然卡入时，它将为零）。一个挤压它的排斥力会增加谐振频率。
AFM 尖端接近样品时的排斥力和吸引力状态。 如果 AFM 尖端被移动到与样品接触，则谐振频率首先由于吸引力而略微下降，然后由于排斥力而上升。最终，排斥力变得如此之大，以至于我们无法振动它，我们就实现了接触。
接触模式：由于尖端处于接触状态，因此力明显高于非接触模式，并且易碎的样品以及尖端很容易损坏。另一方面，紧密接触使分辨率良好，扫描速度可以很高。
随着悬臂梁在力距离曲线的吸引力和排斥区域之间移动，变化的谐振频率可用于测量悬臂梁的位置，并使其保持在力距离曲线的吸引力或排斥部分。
轻敲模式和非接触模式 AFM 的尖端振荡频率位于尖端谐振频率的两侧。绿色信号是振荡幅度，黄色是相位。 非接触模式：如果我们以高于其自由谐振频率的频率振荡悬臂梁，并使用反馈回路来维持略低于自由振荡振荡幅度的设定值，它将使尖端向下移动，直到吸引力降低谐振频率，并使振荡幅度下降到设定值水平。
轻敲模式：如果我们以低于其自由振荡的频率振荡悬臂梁，将其移动到样品附近，它首先会以较低的频率振荡，这将使台阶移动得更近，试图提高振荡幅度，最终，当它到达排斥力时，它将稳定在谐振频率不能再增加而不会产生过高振幅的位置。
典型的 AFM 悬臂梁特性
用途
k (N/m)
f (kHz)
非接触 (NC)
10-100
100-300
间歇接触 (IC)
1-10
20-100
接触
0.1-1
1-50
轻敲模式（也称为间歇接触模式）是最常用的工作模式，在该模式下，悬臂梁尖端会间歇地经历吸引力和排斥力。在这种模式下，悬臂梁以或接近其自由共振频率振荡。因此，测量的力灵敏度通过悬臂梁的品质因数得到提高。在轻敲模式操作中，悬臂梁振动幅度在反馈电路中使用，即在成像过程中保持振荡幅度恒定。因此，它也被称为幅度调制原子力显微镜 (AM-AFM)。轻敲模式的主要优点是，可以消除尖端与样品之间的横向力，从而大大提高图像分辨率。轻敲模式实验通常在空气或液体中进行。幅度调制不适用于真空环境，因为悬臂梁的品质因数非常高（高达 105），这意味着反馈响应非常慢。
如果样品在 y 方向上横向扫描，摩擦力会对悬臂梁施加扭矩，使其横向弯曲，这可以用来测量摩擦力。横向力会使尖端产生横向和扭转偏转。只有扭转可以在光电探测器中检测到。
对于横向弯曲，横向弹簧常数对应于法向弹簧常数，但宽度和厚度互换
k l a t = 1 4 Y t w 3 L 3 = k N w 2 t 2 {\displaystyle k_{lat}={\frac {1}{4}}Y{\frac {tw^{3}}{L^{3}}}=k_{N}{\frac {w^{2}}{t^{2}}}}
以及类似于上述的角偏转公式。由于 AFM 悬臂梁的厚度通常远小于宽度，因此横向弹簧常数比 k N . {\displaystyle k_{N}.}
对于作用在悬臂梁上的横向力 F l a t {\displaystyle F_{lat}}
F l a t = k l a t Δ y − l a t {\displaystyle F_{lat}=k_{lat}\Delta _{y-lat}}
如果横向力施加到 AFM 尖端上， F l a t {\displaystyle F_{lat}} τ {\displaystyle \tau }
τ = h F t o r {\displaystyle \tau =hF_{tor}}
扭曲角度 θ t o r {\displaystyle \theta _{tor}} Δ y − t o r = θ t o r h . {\displaystyle \Delta _{y-tor}=\theta _{tor}h.}
扭转弹簧常数的关系式为（请检查此公式）
F t o r = k t o r Δ y − t o r {\displaystyle F_{tor}=k_{tor}\Delta _{y-tor}}
其中
k t o r = G w t 3 3 h 2 L = Y w t 3 8 h 2 L = k N 1 2 ( L h ) 2 {\displaystyle k_{tor}=G{\frac {wt^{3}}{3h^{2}L}}={\frac {Ywt^{3}}{8h^{2}L}}=k_{N}{\frac {1}{2}}\left({\frac {L}{h}}\right)^{2}}
然后
τ = h 2 k t o r θ t o r = 1 2 k N L 2 θ t o r = 1 2 k N L 2 Δ y − t o r h {\displaystyle \tau =h^{2}k_{tor}\theta _{tor}={\frac {1}{2}}k_{N}L^{2}\theta _{tor}={\frac {1}{2}}k_{N}{\frac {L^{2}\Delta _{y-tor}}{h}}}
从上面我们有
k l a t k t o r = 2 ( w h t L ) 2 {\displaystyle {\frac {k_{lat}}{k_{tor}}}=2\left({\frac {wh}{tL}}\right)^{2}}
系数 2 ( w h t L ) 2 {\displaystyle 2\left({\frac {wh}{tL}}\right)^{2}} 2 ( 20 ∗ 10 2 ∗ 100 ) 2 = 2.0 {\displaystyle 2\left({\frac {20\ast 10}{2\ast 100}}\right)^{2}=2.0}
AFM 在横向力模式下的扫描的典型信号 - 摩擦环扫描。在转折点处，探针粘附在表面，信号随着检测器灵敏度呈线性斜率。当横向探针-样品力超过样品和基底之间的静摩擦力时，探针将开始以动态摩擦力滑动，并产生稳定的信号。 为了获得最佳的扭转灵敏度 - 但以下内容并不总是正确的，因为它高度依赖于所需的接触力等：对于高扭转灵敏度， w h >> t L {\displaystyle wh>>tL} k N {\displaystyle k_{N}}
但是，当在探针上施加横向力时，悬臂梁将横向弯曲多少，扭转多少？施加的横向力将以胡克定律行为移动两个自由度 - 扭转和横向运动。施加的力 F t o r {\displaystyle F_{tor}} F l a t . {\displaystyle F_{lat.}}
那么，将探针沿 y 方向推动的有效弹簧常数为
F t o r = k e f f Δ y {\displaystyle F_{tor}=k_{eff}\Delta _{y}}
其中 Δ y = Δ y , l a t + Δ y , t o r {\displaystyle \Delta _{y}=\Delta _{y,lat}+\Delta _{y,tor}}
k e f f = 1 1 k l a t + 1 k t o r = k l a t 1 + k l a t k t o r {\displaystyle k_{eff}={\frac {1}{{\frac {1}{k_{lat}}}+{\frac {1}{k_{tor}}}}}={\frac {k_{lat}}{1+{\frac {k_{lat}}{k_{tor}}}}}}
而扭转弹簧的偏转量 Δ y , t o r {\displaystyle \Delta _{y,tor}}
Δ y , t o r = Δ y 1 + k t o r k l a t {\displaystyle \Delta _{y,tor}={\frac {\Delta _{y}}{1+{\frac {k_{tor}}{k_{lat}}}}}}
当 k t o r < k l a t , {\displaystyle k_{tor}<k_{lat,}} Δ y {\displaystyle \Delta _{y}}
Δ y , l a t k l a t = Δ y , t o r k t o r Δ y , l a t = k t o r k l a t Δ y , t o r {\displaystyle \Delta _{y,lat}k_{lat}=\Delta _{y,tor}k_{tor}\Delta _{y,lat}={\frac {k_{tor}}{k_{lat}}}\Delta _{y,tor}}
然后扭转偏转角为
θ t o r = Δ y , t o r h = k l a t k l a t + k t o r F t o r h k e f f = k l a t k l a t + k t o r 1 + k l a t k t o r k l a t F t o r h = 1 h F t o r k t o r {\displaystyle \theta _{tor}={\frac {\Delta _{y,tor}}{h}}={\frac {k_{lat}}{k_{lat}+k_{tor}}}{\frac {F_{tor}}{hk_{eff}}}={\frac {k_{lat}}{k_{lat}+k_{tor}}}{\frac {1+{\frac {k_{lat}}{k_{tor}}}}{k_{lat}}}{\frac {F_{tor}}{h}}={\frac {1}{h}}{\frac {F_{tor}}{k_{tor}}}}
正如扭转弹簧和横向弹簧串联的假设所预期的那样。因此，当施加恒定力时，探测器信号是力的测量值。
问题：在摩擦回线扫描过程中，探针通过静摩擦力固定在表面上，并且其偏转量是恒定的，需要将扭转偏转量和横向偏转量都包括在内，才能找到探针在从表面滑移之前实际偏转的距离，横向偏转可能会影响摩擦回线曲线的开始部分吗？
悬臂梁基频振动频率是 AFM 中一个易于测量的量，可以用来评估悬臂梁是否符合规格。它由以下公式给出：
f [ H z ] = t β i 2 4 π L 2 Y 3 ρ = ( 1 ∗ 10 − 6 ) ( 1.875 ) 2 4 π ( 100 ∗ 10 − 6 ) 2 ( 160 ∗ 10 9 ) 3 ∗ 2330 = 1. 338 5 × 10 5 {\displaystyle f[Hz]={\frac {t\beta _{i}^{2}}{4\pi L^{2}}}{\sqrt {\frac {Y}{3\rho }}}={\frac {\left(1\ast 10^{-6}\right)\left(1.875\right)^{2}}{4\pi \left(100\ast 10^{-6}\right)^{2}}}{\sqrt {\frac {\left(160\ast 10^{9}\right)}{3\ast 2330}}}=1.\,338\,5\times 10^{5}}
在AFM中易于测量的量：长度L，共振频率f，探针长度 l t i p , {\displaystyle l_{tip},} w {\displaystyle w}
不太容易测量的是：厚度t，横截面（通常有倾斜的侧壁），力常数 k n o r m , {\displaystyle k_{norm},}
E = 1 2 k x 2 = 1 2 k B T {\displaystyle E={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}k_{B}T}
⟨ x ⟩ r m s = k B T k s p r i n g {\displaystyle \left\langle x\right\rangle _{rms}={\sqrt {\frac {k_{B}T}{k_{spring}}}}}
⟨ x ⟩ r m s = k B 300 = 0.6. {\displaystyle \left\langle x\right\rangle _{rms}={\sqrt {k_{B}300}}=0.6.} k B 300 10 − 20 = 0.4 {\displaystyle {\frac {k_{B}300}{10^{-20}}}=0.4}
因此，在室温下，热噪声可能会成为一些AFM悬臂梁的一个问题！
开尔文探针显微镜方法和双扫描方法可用于绘制AFM表面上的电场。
开尔文探针显微镜（KPM）的原理。锁相放大器在探针上产生信号，静电探针-表面相互作用通过激光和锁相放大器读取，并进行相应的调整。 在开尔文探针显微镜（KPM）方法中，在AFM探针和表面之间施加电压。对探针施加直流和交流电压，使探针和表面之间的总电位差为 V t o t {\displaystyle V_{tot}}
V t o t = − V S + V D C t + V A C t ⋅ sin ( ω ⋅ t ) , {\displaystyle V_{tot}=-V_{S}+V_{DCt}+V_{ACt}\cdot \sin(\omega \cdot t),}
其中 V S = V S ( x , y ) {\displaystyle V_{S}=V_{S}(x,y)} x , y {\displaystyle x,y} V D C t {\displaystyle V_{DCt}} V A C t {\displaystyle V_{ACt}} ω {\displaystyle \omega }
交流信号的频率远低于悬臂梁的共振频率（相差 10 倍），因此可以通过锁相放大器将这两个信号分离。通过静电力的作用，该装置测量表面电势。如果假设探针和表面之间的静电力（ F {\displaystyle F} [ 2]
F = ∂ C ∂ z ⋅ V t o t 2 2 , {\displaystyle F={\frac {{\frac {\partial C}{\partial z}}\cdot V_{tot}^{2}}{2}},}
其中 C {\displaystyle C} z {\displaystyle z}
如果假设平行板电容器
C = A c ϵ 0 z {\displaystyle C={\frac {A_{c}\epsilon _{0}}{z}}}
其中 A c {\displaystyle A_{c}}
∂ C ∂ z = − A c ϵ 0 z 2 {\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial z}}=-{\frac {A_{c}\epsilon _{0}}{z^{2}}}}
结合力（ F {\displaystyle F} V t o t {\displaystyle V_{tot}}
F = ∂ C ∂ z 2 ⋅ ( − V S + V D C t + V A C t ⋅ sin ( ω ⋅ t ) ) 2 = {\displaystyle F={\frac {\frac {\partial C}{\partial z}}{2}}\cdot {\Big (}-V_{S}+V_{DCt}+V_{ACt}\cdot \sin(\omega \cdot t){\Big )}^{2}=}
∂ C ∂ z 2 ⋅ ( ( V D C t − V S ) 2 + V A C t 2 ⋅ sin ( ω ⋅ t ) 2 + 2 ⋅ ( V D C t − V S ) ⋅ V A C t ⋅ sin ( ω ⋅ t ) ) . {\displaystyle {\frac {\frac {\partial C}{\partial z}}{2}}\cdot {\Big (}(V_{DCt}-V_{S})^{2}+V_{ACt}^{2}\cdot \sin(\omega \cdot t)^{2}+2\cdot (V_{DCt}-V_{S})\cdot V_{ACt}\cdot \sin(\omega \cdot t){\Big )}.}
使用毕达哥拉斯恒等式
[ cos ( x ) 2 + sin ( x ) 2 = 1 ] {\displaystyle {\big [}\cos(x)^{2}+\sin(x)^{2}=1{\big ]}}
和棣莫弗公式
[ ( cos ( x ) + i ⋅ sin ( x ) ) n = cos ( n ⋅ x ) + i ⋅ sin ( n ⋅ x ) ] , {\displaystyle {\big [}(\cos(x)+i\cdot \sin(x))^{n}=\cos(n\cdot x)+i\cdot \sin(n\cdot x){\big ]},}
我们发现
V A C t 2 ⋅ sin ( ω ⋅ t ) 2 = V A C t 2 ⋅ ( 1 − cos ( ω ⋅ t ) 2 ) = {\displaystyle V_{ACt}^{2}\cdot \sin(\omega \cdot t)^{2}=V_{ACt}^{2}\cdot \ {\big (}1-\cos(\omega \cdot t)^{2}{\big )}=}
1 2 ⋅ V A C t 2 ⋅ ( 2 − 2 ⋅ cos ( ω ⋅ t ) 2 ) = {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}\cdot {\big (}2-2\cdot \cos(\omega \cdot t)^{2}{\big )}=}
1 2 ⋅ V A C t 2 − 1 2 ⋅ V A C t 2 ⋅ cos ( 2 ⋅ ω ⋅ t ) . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}\cdot \cos(2\cdot \omega \cdot t).}
将其代入力的公式（ F {\displaystyle F} [ 3]
F = ( ∂ C ∂ z 2 ⋅ ( ( V D C t − V S ) 2 + 1 2 ⋅ V A C t 2 ) + ( 2 ⋅ ( V D C t − V S ) ⋅ V A C t ) ⋅ sin ( ω ⋅ t ) − {\displaystyle F={\Big (}{\frac {\frac {\partial C}{\partial z}}{2}}\cdot {\big (}(V_{DCt}-V_{S})^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}{\big )}+{\big (}2\cdot (V_{DCt}-V_{S})\cdot V_{ACt}{\big )}\cdot \sin(\omega \cdot t)-}
( 1 2 ⋅ V A C t 2 ) ⋅ cos ( 2 ⋅ ω ⋅ t ) ) {\displaystyle ({\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2})\cdot \cos(2\cdot \omega \cdot t){\Big )}}
F = k 1 + k 2 ⋅ sin ( ω ⋅ t ) + k 3 ⋅ cos ( 2 ⋅ ω ⋅ t ) , {\displaystyle F=k_{1}+k_{2}\cdot \sin(\omega \cdot t)+k_{3}\cdot \cos(2\cdot \omega \cdot t),}
其中
k 1 = ∂ C ∂ z 2 ⋅ ( ( V D C t − V S ) 2 + 1 2 ⋅ V A C t 2 ) {\displaystyle k_{1}={\frac {\frac {\partial C}{\partial z}}{2}}\cdot {\big (}(V_{DCt}-V_{S})^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}{\big )}}
k 2 = ( 2 ⋅ ( V D C t − V S ) ⋅ V A C t ) {\displaystyle k_{2}=(2\cdot (V_{DCt}-V_{S})\cdot V_{ACt})} k 3 = − 1 2 ⋅ V A C t 2 {\displaystyle k_{3}=-{\frac {1}{2}}\cdot V_{ACt}^{2}}
频率 ω {\displaystyle \omega } k 2 {\displaystyle k_{2}} V D C t {\displaystyle V_{DCt}} V D C t = V S {\displaystyle V_{DCt}=V_{S}} V D C t {\displaystyle V_{DCt}} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} V S ( x , y ) {\displaystyle V_{S}(x,y)}
双扫描 (DS) 方法的原理是，首先进行一次地形线扫描，然后将探针抬起距离 d，并在源漏电压打开的情况下进行另一次线扫描。 在双扫描 (DS，有时称为提升模式方法) 中，首先在轻敲模式或非接触模式下，对 AFM 探针或样品不施加任何电势进行线扫描。接下来，将 AFM 探针抬升数十纳米（30-70 纳米）到表面上方。在这个高度进行新的线扫描，但这次在非接触模式下对样品施加电势。在所需的扫描区域重复此过程，直到整个区域都被扫描。为了对表面电势进行成像，对悬臂梁振动的相位进行映射。原理如图所示，其中 d 是第二次扫描中探针与表面之间的距离。相移取决于作用在探针上的力 ( F {\displaystyle F} [ 4]
ϕ = tan − 1 ( k Q ⋅ ∂ F ∂ z ) {\displaystyle \phi =\tan ^{-1}({\frac {k}{Q\cdot {\frac {\partial F}{\partial z}}}})}
其中 Q {\displaystyle Q} k {\displaystyle k} z {\displaystyle z}
对于小的相移，相位可以写成
ϕ ≈ Q ⋅ ∂ F ∂ z k . {\displaystyle \phi \approx {\frac {Q\cdot {\frac {\partial F}{\partial z}}}{k}}.}
力的导数可以写成
∂ F ∂ z = 1 2 ∂ 2 C ∂ z 2 ⋅ V s 2 , {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial z}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}\cdot V_{s}^{2},}
其中 V s {\displaystyle V_{s}} C {\displaystyle C} [ 5]
∂ 2 C ∂ z 2 = 2 A c ϵ 0 z 3 . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}={\frac {2A_{c}\epsilon _{0}}{z^{3}}}.}
将相位和力的导数的方程结合起来，可以得到相移的相位依赖关系
ϕ ≈ Q ⋅ ∂ 2 C ∂ z 2 ⋅ V s 2 k ⋅ 2 . {\displaystyle \phi \approx {\frac {Q\cdot {\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}\cdot V_{s}^{2}}{k\cdot 2}}.}
要找到表面电势，必须估计相位方程的其他部分。 如果已知悬臂梁的尺寸（规则悬臂梁）和材料，则可以确定弹簧常数 ( k {\displaystyle k}
k = E ⋅ w ⋅ h 3 4 ⋅ L 3 , {\displaystyle k={\frac {E\cdot w\cdot h^{3}}{4\cdot L^{3}}},}
其中 E {\displaystyle E} w {\displaystyle w} h {\displaystyle h} L {\displaystyle L} Q {\displaystyle Q} r {\displaystyle r}
∂ 2 C ∂ z 2 = 2 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ ϵ 0 z 3 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}={\frac {2\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot \epsilon _{0}}{z^{3}}},}
其中 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} [ 6]
DS 和 KPM 方法各有优劣。DS 方法操作更简单，因为它的参数相互关联较少，需要调整的参数也更少。KPM 方法速度更快，因为它不需要两次扫描（DS 方法需要扫描分辨率为 512 × {\displaystyle \times } 0.8 {\displaystyle 0.8} 1 r 3 {\displaystyle {\frac {1}{r^{3}}}} 1 r 2 {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}
A. Bachtold, M. S. Fuhrer, S. Plyasunov, M. Forero, E. H. Anderson, A. Zettl, and P. L. McEuen; Physical Review Letters 84(26), 6082-6085 (2000). G. Koley and M. G. Spencer; Applied Physics Letters 79(4), 545-547 (2001). T. S. Jespersen and J. Nygård; Nano Letters 5(9), 1838-1841 (2005). V. Vincenzo, and M Palma, and P. Samorí; Advanced Materials 18, 145-164 (2006). Veeco, "Electrostatic Force Microscopy for AutoProbe CP Research Operating Instructions", 2001 (Manual). D. Ziegler and A. Stemmer; Nanotechnology 22, 075501 (2011). 各种悬臂梁特性概述
另请参阅有关编辑此书籍的说明，了解如何添加参考文献 纳米技术/关于#如何贡献 。
↑ Senturia `Micromechanics' ↑ Veeco, "Electrostatic Force Microscopy for AutoProbe CP Research Operating Instructions", 2001 (Manual) ↑ V. Vincenzo, and M Palma, and P. Samorí; Advanced Materials 18, 145-164 (2006) ↑ T. S. Jespersen and J. Nygård; Nano Letters 5(9), 1838-1841 (2005) ↑ T. S. Jespersen and J. Nygård; Nano Letters 5(9), 1838-1841 (2005) ↑ T. S. Jespersen and J. Nygård; Nano Letters 5(9), 1838-1841 (2005) ↑ http://en.nanoscopy.ru ↑ Massimo Sandal, Fabrizio Benedetti, Alberto Gomez-Casado, Marco Brucale, Bruno Samorì (2009). "Hooke: an open software platform for force spectroscopy". Bioinformatics . 25 (11): 1428–1430. {{cite journal }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )
![{\displaystyle f[Hz]={\frac {t\beta _{i}^{2}}{4\pi L^{2}}}{\sqrt {\frac {Y}{3\rho }}}={\frac {\left(1\ast 10^{-6}\right)\left(1.875\right)^{2}}{4\pi \left(100\ast 10^{-6}\right)^{2}}}{\sqrt {\frac {\left(160\ast 10^{9}\right)}{3\ast 2330}}}=1.\,338\,5\times 10^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62323afd5c3ca378ab0419c064f575c3e00b258)
![{\displaystyle {\big [}\cos(x)^{2}+\sin(x)^{2}=1{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0696684a3724bfb996e2073cd431b5c3de701f73)
![{\displaystyle {\big [}(\cos(x)+i\cdot \sin(x))^{n}=\cos(n\cdot x)+i\cdot \sin(n\cdot x){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec7fcd029d75dad5753978b35662645bc5ac1da)
