数论/无理数、有理数和超越数

定义

有理数是可以表示为两个整数之比（分母不为零）的数。

这包括分数表示，例如 ${\frac {3}{4}}\,,-{\frac {27}{3}}\,$ 等。

有理数也可以表示为有限小数或循环小数。例如
$1.25,-0.333333,0.999\ldots$

但是，小数在有限位数之后不循环的不是有理数。

有时也使用比率表示，例如 $5:4\,$

有理数的整个（无限）集合通常用符号 $\mathbb {Q} \,$ 表示。

无理数是所有其他数字 - 例如 ${\sqrt {2}},\pi ,e\,$

无理数和有理数加起来构成实数 - 表示为 $\mathbb {R} \,$.

无理数集是无限的 - 实际上无理数比有理数“多”（当“多”被精确定义时）。

代数数是具有有理系数的多项式方程的根。例如，${\sqrt {2}}$ 是多项式方程 $x^{2}-2=0\,$ 的根，因此它是代数数（但无理数）。

超越数是不是任何具有有理系数的多项式方程的根的无理数。例如，$\pi ,e\,$ 不是任何可能的多项式的根，因此它们是超越数。

超越数集是无限的 - 实际上超越数比代数数“多”（当“多”被精确定义时）。