创建向量和矩阵

以下是我们在 Octave 中指定行向量的示例

octave:1> x = [1, 3, 2]
x =

  1  3  2

请注意

向量用方括号括起来；
每个元素之间用可选的逗号分隔。x = [1 3 2] 会产生相同的行向量。

要指定列向量，只需将逗号替换为分号

octave:2> x = [1; 3; 2]
x =

  1
  3
  2

由此可见，我们使用逗号移动到向量（或矩阵）的下一列，并使用分号移动到下一行。因此，要指定矩阵，请键入行（用逗号分隔每个元素），并使用分号移动到下一行。

octave:3> A = [1, 1, 2; 3, 5, 8; 13, 21, 34]
A =

   1   1   2
   3   5   8
  13  21  34

运算符

可以使用标准运算符来

加（+），
减（-），以及
乘（*）

矩阵、向量和标量。请注意，这些运算符要起作用，矩阵需要具有匹配的维数（在乘法情况下，是内部维数）。

转置运算符是单引号：'。继续上一节的示例，

octave:4> A'
ans =

   1   3  13
   1   5  21
   2   8  34

（注意：这实际上是复共轭转置运算符，但对于实矩阵，这与转置相同。要计算复矩阵的转置，请使用点转置 (.') 运算符。）

幂运算符 (^) 也可以用于计算方阵的实幂。

元素运算

当您有两个相同大小的矩阵时，可以对它们执行逐元素运算。例如，以下代码将A中的每个元素除以B中的对应元素

octave:1> A = [1, 6, 3; 2, 7, 4]
A =

  1  6  3
  2  7  4

octave:2> B = [2, 7, 2; 7, 3, 9]
B =

  2  7  2
  7  3  9

octave:3> A ./ B
ans =

  0.50000  0.85714  1.50000
  0.28571  2.33333  0.44444

请注意，您使用点除 (./) 运算符来执行逐元素除法。还有类似的运算符用于乘法 (.*) 和幂运算 (.^)。

让我们引入一个标量供将来使用。

a = 5;

点除运算符还可以与标量一起以以下方式使用。

C = a ./ B

返回一个矩阵C，其中每个条目由下式定义

C_{ij}={\frac {a}{B_{ij}}}

即a被B中的每个条目除。类似地

C = a .^ B

返回一个矩阵，其中

C_{ij}=a^{B_{ij}}

索引

您可以通过索引来处理矩阵和向量的部分内容。您使用一个整数向量来告诉 Octave 使用向量或矩阵的哪些元素。例如，我们创建一个向量

octave:1> x = [1.2, 5, 7.6, 3, 8]
x =

  1.2000  5.0000  7.6000  3.0000  8.0000

现在，要查看x的第二个元素，请输入

octave:2> x(2)
ans = 5

您还可以按如下方式查看元素列表。

octave:3> x([1, 3, 4])
ans =

  1.2000  7.6000  3.0000

最后一个命令显示了向量x的第 1、3 和 4 个元素。

要从矩阵中选择行和列，我们使用相同的原理。让我们定义一个矩阵

octave:4> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]
A =

  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9

并选择第 1 行和第 3 行以及第 2 列和第 3 列

octave:5> A([1, 3], [2, 3])
ans =

  2  3
  8  9

冒号运算符 (:) 可用于从矩阵中选择所有行或列。因此，要选择第 2 行中的所有元素，请输入

octave:6> A(2, :)
ans =

  4  5  6

您也可以像这样使用: 来选择所有矩阵元素

octave:7> A(:,:)
ans =
 
  1   2   3
  4   5   6
  7   8   9

范围

我们还可以从矩阵中选择一系列行或列。我们使用以下方法指定范围

start:step:stop

您实际上可以在 Octave 提示符下键入范围以查看结果。例如，

octave:3> 1:3:10
ans =

   1   4   7  10

第一个显示的数字是start，第二个是start + step，第三个是start + (2 * step)。最后一个数字小于或等于stop。

通常，您只需将步长设置为 1。在这种情况下，您可以省略步长参数并键入

octave:4> 1:10
ans =

   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10

如您所见，范围命令的结果只是一个整数向量。我们现在可以使用它来索引向量或矩阵。要选择A左上角的 $2\times 2$ 子矩阵，请使用

octave:4> A(1:2, 1:2)
ans =

  1  2
  4  5

最后，有一个名为end的关键字，它可以在索引矩阵或向量时使用。它指的是行或列中的最后一个元素。例如，要查看矩阵的最后一列，可以使用

octave:5> A(:,end)
ans =

  3
  6
  9

函数

以下函数可用于创建和操作矩阵。

创建矩阵

tril(A) 返回A的下三角部分。

triu(A) 返回A的上三角部分。

eye(n) 返回 $n\times n$ 单位矩阵。您还可以使用eye(m, n) 来返回 $m\times n$ 矩形单位矩阵。

ones(m, n) 返回一个 $m\times n$ 矩阵，其中所有元素均为 1。类似地，ones(n) 返回一个 $n\times n$ 方阵。

zeros(m, n) 返回一个 $m\times n$ 矩阵，其中所有元素均为 0。类似地，zeros(n) 返回一个 $n\times n$ 方阵。

rand(m, n) 返回一个 $m\times n$ 矩阵，其中元素是从 $[0,1]$ 范围内均匀随机生成的。类似地，rand(n) 返回一个 $n\times n$ 方阵。

randn(m, n) 返回一个 $m\times n$ 矩阵，其中元素是正态分布的随机数。

randperm(n) 返回一个行向量，包含数字 $1,2,\ldots ,n$ 的随机排列。

diag(x) 或 diag(A)。对于向量 x，此函数返回一个方阵，对角线上为 x 的元素，其他位置为 0。对于矩阵 A，此函数返回一个向量，包含 A 的对角线元素。例如，

octave:16> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]
A =

  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9

octave:17> x = diag(A)
ans =

  1
  5
  9

octave:18> diag(x)
ans =

  1  0  0
  0  5  0
  0  0  9

linspace(a, b, n) 返回一个包含 n 个值的向量，第一个元素等于 a，最后一个元素等于 b，相邻元素之间的差值恒定。最后一个参数 n 是可选的，默认值为 100。

octave:186> linspace(2, 4, 2)
ans =

  2   4

octave:187> linspace(2, 4, 4)
ans =

  2.0000   2.6667   3.3333   4.0000

octave:188> linspace(2, 4, 6)
ans =

  2.0000   2.4000   2.8000   3.2000   3.6000   4.0000

logspace(a, b, n) 返回一个包含 n 个值的向量，第一个元素等于 $10^{a}$ ，最后一个元素等于 $10^{b}$ ，相邻元素之间的比率恒定。最后一个参数 n 是可选的，默认值为 50。

octave:189> logspace(2, 4, 2)
ans =

    100   10000

octave:190> logspace(2, 4, 4)
ans =

  1.0000e+02   4.6416e+02   2.1544e+03   1.0000e+04

octave:191> logspace(2, 4, 5)
ans =

  1.0000e+02   3.1623e+02   1.0000e+03   3.1623e+03   1.0000e+04

其他矩阵

还有一些创建特殊矩阵的函数，如下所示：

hankel (汉克尔矩阵)
hilb (希尔伯特矩阵)
invhilb (希尔伯特矩阵的逆矩阵)
sylvester_matrix (西尔维斯特矩阵) - 在 v3.8.1 版本中，有一个警告：sylvester_matrix 已过时，将在未来版本的 Octave 中移除；请使用 hadamard(2^k) 代替。
toeplitz (托普利兹矩阵)
vander (范德蒙德矩阵)

使用 help 命令可以获取有关如何使用这些函数的更多信息。

更改矩阵

fliplr(A) 返回矩阵 A 的副本，其中列的顺序反转，例如，

octave:49> A = [1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11, 12] 
A =

   1   2   3   4
   5   6   7   8
   9  10  11  12

octave:50> fliplr(A)
ans =

   4   3   2   1
   8   7   6   5
  12  11  10   9

flipud(A) 返回矩阵 A 的副本，其中行的顺序反转，例如，

octave:51> flipud(A)
ans =

   9  10  11  12
   5   6   7   8
   1   2   3   4

rot90(A, n) 返回矩阵 A 的副本，该副本已逆时针旋转 (90n)°。第二个参数 $n$ 是可选的，默认值为 1，可以为负值。

octave:52> rot90(A)
ans =

   4   8  12
   3   7  11
   2   6  10
   1   5   9

reshape(A, m, n) 创建一个 $m\times n$ 矩阵，其元素取自 A。A 中的元素数量必须等于 $mn$ 。元素从 A 中按列优先顺序获取，这意味着第一列中的值（ $A_{11},\ldots ,A_{m1}$ ）首先被读取，然后是第二列（ $A_{12},\ldots ,A_{m2}$ ），等等。

octave:53> reshape(A, 2, 6)
ans =

   1   9   6   3  11   8
   5   2  10   7   4  12

sort(x) 返回向量 x 的副本，其中元素按升序排序。

octave:54> x = rand(1, 6)
x =

  0.25500  0.33525  0.26586  0.92658  0.68799  0.69682

octave:55> sort(x)
ans =

  0.25500  0.26586  0.33525  0.68799  0.69682  0.92658

线性代数

有关更多可用于操作向量和矩阵、查找特征值等的运算符和函数的描述，请参见线性代数部分。

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