关于二维逆问题/Blaschke 产品

令{b_k} 为复单位圆盘D 中的n 个点的集合。相应的Blaschke 产品 定义为

$B_{b}(z)=\prod _{k}{\frac {|b_{k}|}{b_{k}}}({\frac {b_{k}-z}{1-{\overline {b_{k}}}z}}).$

如果点的集合是有限的，该函数定义了单位圆盘到自身的n-to-1映射，

$B_{b}:\mathbb {D} {\xrightarrow[{}]{n\leftrightarrow 1}}\mathbb {D} .$

如果点的集合是无限的，则该乘积收敛并定义了复单位圆盘的自同构，前提是满足 Blaschke 条件

$\sum _{k}(1-|b_{k}|)<\infty .$

Cayley 变换

$\tau (z)={\frac {1-z}{1+z}}$

提供了一个Stieltjes 连分数 和 Blaschke 产品以及复单位圆盘和半空间的 Pick-Nevanlinna 插值问题之间的联系。

练习(**)。 证明

$\tau \circ \tau =Id$

并且每个 Stieltjes 连分数都是具有实数 b_k' 的 Blaschke 产品的共轭

$\beta =\tau \circ (\pm B_{b})\circ \tau .$

以及

$\prod _{\beta (\mu _{k})=1}{\frac {1-\mu _{k}}{1+\mu _{k}}}=\pm B_{b}(0)=\prod _{l}b_{l}=\pm {\frac {1-\beta (1)}{1+\beta (1)}}.$

(提示.) Cayley 变换是复单位圆盘和半空间之间的1-to-1 映射。