常微分方程/爆破与边界移动

命题（常微分方程解的拼接）:

假设我们有一个连续函数 $f:[0,1]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 和两个函数 $x_{1}:[t_{0}-\gamma ,t_{0}]\to \mathbb {R} ^{n}$, $x_{2}:[t_{0},t_{0}+\delta ]\to \mathbb {R} ^{n}$ 满足

${\begin{cases}x_{1}'(t)=f(t,x_{1}(t))&t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}]\\x_{1}(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

和

${\begin{cases}x_{2}'(t)=f(t,x_{2}(t))&t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]\\x_{2}(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

分别。然后函数

$x:[t_{0}-\gamma ,t_{0}+\delta ]\to \mathbb {R} ^{n},x(t):={\begin{cases}x_{1}(t)&t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}]\\x_{2}(t)&t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]\end{cases}}$

求解

${\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))&t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}+\delta ]\\x(t_{0})=x_{0}.\end{cases}}$

证明： 我们证明在 $x_{0}$ 处的可微性，如下所示：我们断言 $x$ 的导数由 $f(t_{0},x_{0})$ 给出。为了证明我们的断言，我们注意到

${\frac {x_{2}(t_{+})-x_{1}(t_{-})}{t_{+}-t_{-}}}={\frac {x_{2}(t_{+})-x_{2}(t_{0})}{t_{+}-t_{0}}}{\frac {t_{+}-t_{0}}{t_{+}-t_{-}}}+{\frac {x_{1}(t_{0})-x_{1}(t_{-})}{t_{0}-t_{-}}}{\frac {t_{0}-t_{-}}{t_{+}-t_{-}}}\to f(t_{0},x_{0}),t_{+},t_{-}\to 0$

其中 $t_{+}\in [t_{0},t_{0}+\delta ]$ 且 $t_{-}\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}]$；这是因为

${\frac {t_{+}-t_{0}}{t_{+}-t_{-}}}+{\frac {t_{0}-t_{-}}{t_{+}-t_{-}}}=1$.

在 $t_{+},t_{-}$ 都包含在两个区间 $[t_{0},t_{0}+\delta ]$，$[t_{0}-\gamma ,t_{0}]$ 中的同一个区间时，无论如何收敛都是明确的。 $\Box$

定义（存在最大区间）:

令一个常微分方程

$(*){\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))&\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

给定。最大存在区间定义为区间$(a,b)$，其中

$a:=\inf\{t\in \mathbb {R} |\exists x:(a,t_{0}]\to \mathbb {R} ^{n}:x{\text{ satisfies }}(*)\}$ 且 $b:=\sup\{\}$.

命题（连续情况下最大存在区间的存在性）:

定义:

令一个常微分方程

${\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))&\\x(t_{0})=x_{0}\end{cases}}$

给定，其中 $f$ 是连续的。最大存在区间围绕 $(t_{0},x_{0})$ 是最大（关于集合包含）区间 $I$ 使得 $t_{0}\in I$ 并且存在一个解 $x$ 在 $I$ 上定义为上述方程。

注意，只有关于解的串联的先前定理保证了最大存在区间的定义有意义，否则可能出现两个区间 $I_{1}=(a_{1},b_{1})$ 和 $I_{2}=(a_{2},b_{2})$（$a_{1}<a_{2}<t_{0}<b_{1}<b_{2}$），使得 $t_{0}$ 包含在两个区间内，并且在两个区间上都定义了一个解，但这些解是不兼容的，因为它们都不能扩展到“大”区间 $(a_{1},b_{2})$。关于串联的定理确保这种情况永远不会发生。

现在，我们的目标是证明，当我们在解图 $(t,x(t))$ 上沿着 $t$ 趋近最大存在区间 $I$ 的端点时，从某种意义上来说，我们正在向 $D$ 的边界移动，其中 $D$ 被要求是开集，并且是 $f$ 的定义域。这意味着对于任何紧集 $K\subset D$，如果我们选择足够大或足够小的 $t$，那么 $(t,x(t))$ 将位于 $K$ 的外部。证明过程较长，需要一些准备工作。

命题（将紧集包含在规范紧集内）:

令 $f:D\to \mathbb {R} ^{n}$ 是微分方程的右侧，其中 $D$ 是开集（实际上，对于这个引理而言，只有集合 $D$ 有意义）。设置

$D_{k}:=\left\{x\in D|\operatorname {dist} (x,\partial D)>{\frac {1}{k}}\wedge \|x\|<k\right\}$

对于 $k\in \mathbb {N}$。如果 $K\subseteq D$ 是任何紧集，那么对于足够大的 $k$，$K\subset D_{k}$。

证明： 由于 $K$ 是紧致的，所以它是 有界的。因此，对于足够大的 $k_{1}\in \mathbb {N}$，有 $K\subseteq B_{k_{1}}(0)$。此外，由于上述情况，$K$ 到边界的距离存在一个最小值 $\epsilon$，我们可以选择 $k_{2}\in \mathbb {N}$ 使得 ${\frac {1}{k_{2}}}<\epsilon$。选择 $k:=\max\{k_{1},k_{2}\}$。则

$K\subseteq B_{k_{1}}(0)\subseteq B_{k}(0)$ 并且 $\forall x\in K:\operatorname {dist} (x,\partial D)>\epsilon >{\frac {1}{k_{2}}}>{\frac {1}{k}}$.

因此，$K\subset D_{k}$。 $\Box$

命题 (常微分方程的解延拓到边界):

令 $f:D\to \mathbb {R} ^{n}$ 为微分方程的右侧（其中 $D$ 为开集），并令 $x:I\to \mathbb {R} ^{n}$ 为该方程的解，其中 $I=(a,b)$ 是最大解区间内部。如果 $t$ 足够接近 $a$ 或 $b$，那么对于每个紧致集 $K\subset D$，点 $(t,x(t))$ 位于 $K$ 之外。

证明：假设不是这样。那么不失一般性，我们有序列 $t_{1}>t_{2}>t_{3}>\cdots >t_{k}>\cdots$ 使得 $t_{k}\to a,k\to \infty$ 且 $(t_{k},x(t_{k}))\in K$（对于区间 $b$ 的另一端，类似的假设会导致类似的矛盾）。由于 $K$ 是紧致的，序列 $(t_{k},x(t_{k}))$ 存在一个聚点 $(a,x^{*})$。我们断言，事实上

$\lim _{t\to a}(t,x(t))=(a,x^{*})$.

选择一个 $m\in \mathbb {N}$ 使得 $K\subset D_{m}$。设 $\epsilon >0$ 为任意值。我们可以将自己限制在足够小的 $\epsilon >0$ 上，使得 $B_{\epsilon }((a,x^{*}))\subseteq D_{m}$。因为 $f$ 是连续的，它在紧凑的 ${\overline {B_{\epsilon }((a,x^{*}))}}$ 上是有界的，比如由 $M>0$ 限制。现在选择一个 $\delta <\epsilon /(2M)$ 使得 $(a+\delta ,x(a+\delta ))\in B_{\epsilon /2}((a,x^{*}))$。如果我们假设 $x$ 在 $B_{\epsilon }((a,x^{*}))$ 之外，对于 $|t-a|<\delta$，将中值定理应用于函数

$(a,a+\delta )\to \mathbb {R} ,t\mapsto \|(a,x^{*})-(t,x(t))\|$

得到一个 $s\in (a,a+\delta )$ 使得 $\|(a,x^{*})-(t,x(t))\|=\epsilon$。但是

${\begin{aligned}\|(a,x^{*})-(t,x(t))\|&\leq \|(a,x^{*})-(a+\delta ,x(a+\delta ))\|+\|(a+\delta ,x(a+\delta ))-(t,x(t))\|\\&<\epsilon /2+\|(a+\delta ,x(a+\delta ))-(t,x(t))\|\\&=\epsilon /2+\left\|\int _{t}^{a+\delta }f(s,x(s))ds\right\|\leq \epsilon /2+\delta M<\epsilon /2+\epsilon /2<\epsilon \end{aligned}}$,

矛盾。

因此，$\lim _{t\to a}(t,x(t))\in K$. 但另一方面，根据皮亚诺存在定理和解的拼接，我们可以将解在$a+\mu$ 处向左延长固定长度（即对于 $\gamma =\max\{{\frac {1}{2m}},{\frac {1}{2m{\mathcal {M}}}}\}$，其中 ${\mathcal {M}}:=\min _{(t,x)\in {\overline {D_{2m}}}}|f(t,x)|$，它由于 $f$ 的连续性和 ${\overline {D_{2m}}}$ 的紧致性而存在），并且对足够小的 $\mu$ 进行如此操作会导致 $(a,b)$ 不是最大存在区间的矛盾。$\Box$

推论:

令 $f:D\to \mathbb {R} ^{n}$ 为微分方程在特例 $D=(c,d)\times \mathbb {R} ^{n}$ 中的右边，其中 $J=(c,d)$ 为一个区间。令 $I=(a,b)$ 为围绕 $(t_{0},x_{0})\in D$ 的解的最大存在区间。那么，要么 $a=c$，要么当 $t\to a$ 时，$\|x(t)\|\to \infty$。类似地，要么 $b=d$，要么当 $t\to b$ 时，$\|x(t)\|\to \infty$。

证明:

根据前面的定理，解最终会离开每个紧致集$K\subset D$，当 $t\to a$ 或 $t\to b$。特别是，这对于紧致集${\overline {D_{k}}}$成立。但是，离开它意味着要么$\|(t,x(t))\|\geq k$ 或 $|c-t|\leq 1/k$ 或 $|d-t|\leq 1/k$，因为$(t,x(t))$ 到$\partial D$ 的距离正好是 $t$ 到最近的区间端点 $c$、$d$ 的距离。因此，如果不 $a=c$，那么$\|x(t)\|\to \infty$ 当 $t\to a$，以及对于$b$ 和 $d$ 的类似结论也是成立的。$\Box$