常微分方程/精确 1

一阶微分方程

此页面详细介绍了一种尝试找到以下形式方程解的方法

$P(x,y)+Q(x,y)y'=0,$

这通常写成微分形式

$Pdx+Qdy=0$.

随后，我们将把这个表达式称为ODE。在研究线积分时，微分形式经常出现在多元微积分中。

精确微分方程

在我们开始识别和求解精确微分方程之前，做一些观察是有帮助的。我们将从提醒自己多元微积分中的链式法则开始。它说明了如何计算两个或多个函数的复合函数的导数。假设 $\psi (u,v)$ 是两个实变量的函数，并且我们给出函数 $g(t)$ 和 $h(t)$，它们是单个实变量的函数。那么函数 $f(t)=\psi (g(t),h(t))$ 只是一个 $t$ 的函数，其中 $g$ 和 $h$ 被代入 $f$ 作为 $u$ 和 $v$。多元微积分中的链式法则告诉我们如何计算 $f(t)$ 的导数。它指出

$f'(t)={\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\frac {dg}{dt}}+{\frac {\partial \psi }{\partial v}}{\frac {dh}{dt}}$

如果我们稍微滥用一下符号，将这两个函数称为 $u(t)$ 和 $v(t)$（而不是 $g(t)$ 和 $h(t)$），那么我们可以将链式法则写成

$f'(t)={\frac {\partial \psi }{\partial u}}{\frac {du}{dt}}+{\frac {\partial \psi }{\partial v}}{\frac {dv}{dt}}$

例如，我们可以令 $f(u,v)=u^{2}+v^{2}$， 并且我们可以令 $u(t)=\cos(t)$ 和 $v(t)=\sin(t)$。 那么根据链式法则

$f'(t)=(2u)(-\sin(t))+(2v)(\cos(t))=-2\cos(t)\sin(t)+2\sin(t)\cos(t)=0\,$

当然，这可以通过直接代入 $u$ 和 $v$ 来发现 $f(t)=1$ 更直观地看到，但这仅仅是对我们正确求导的验证。

我们将使用这个理论来评估

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\psi (x,y(x))&={\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {d}{dx}}(x)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {d}{dx}}(y)\\&={\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}y'.\end{aligned}}$

如果我们仔细观察这个表达式，它看起来等于我们上面 ODE 的左侧。具体来说，如果 ${\tfrac {\partial \psi }{\partial x}}(x,y)=P(x,y)$ 并且 ${\tfrac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)=Q(x,y)$，那么我们的 ODE 是

${\frac {d}{dx}}{\Big (}\psi {\big (}x,y(x){\big )}{\Big )}=0$

这种类型的方程特别容易求解。唯一导数为 0 的函数是常数函数或简单常数。因此，我们 ODE 的解，即对它的积分，将由下式给出

$\psi (x,y)=C.\,$

现在考虑以下示例，应用我们刚刚弄清楚的内容。

$y-x^{2}+xy'=0\,$

在这个例子中 $P(x,y)=y-x^{2}$，$Q(x,y)=x$，并且 $y'=y'$。请注意，如果 $\psi (x,y)=xy-{\frac {x^{3}}{3}}$，那么 $\psi _{x}'=y-x^{2}=P$ 并且 $\psi _{y}'=x=Q$。顺便说一下，如果你想自己检查一下我们在这里做了什么，而你的微积分有点生疏，那就下载 maxima (http://maxima.sourceforge.net 或者预先打包到您最喜欢的 Linux 发行版或 Android 中)。我们刚刚制作的 $\psi (x,y)$ 的推导可以在 maxima 中轻松回放，如下所示：

(%i1) psi:x*y-(x^3/3);

以及

(%i2) diff(psi,x);

得出

(%o1) y - x^2.

或者从 $\psi _{x}'$ 到 $\psi (x,y)$，

(%i1) psi_prime:y-x^2;

以及

(%i2) integrate(psi_prime,x);

得出

(%o1) x*y-(x^3/3)

回到我们的问题，根据我们上面的观察，这个方程的解应该由 $\psi (x,y)=C$ 给出，换句话说

$xy-{\frac {x^{3}}{3}}=C\qquad {\text{ or }}y={\frac {x^{2}}{3}}+{\frac {C}{x}}$

此特定方程是线性的，因此我们可以轻松验证以这种方式获得的解是否正确。当存在一个函数 $\psi$ 使得 $\psi _{x}'=P$ 且 $\psi _{y}'=Q$ 时，该方程称为 **精确方程**。不幸的是，并非所有形式为 $P(x,y)+Q(x,y)y'$ 的微分方程都是精确的。为了使这种方法成为求解微分方程的有效方法，我们需要一种方法来区分一个微分方程是否精确，以及函数 $\psi (x,y)$ 是什么，如果该函数是精确的。

为了看到 $P$ 和 $Q$ 不能是任意的，请记住多元微积分中 $\psi _{xy}'=\psi _{yx}'$（读作：$\psi$ 的偏导数的顺序是可交换的），只要这些导数存在且连续。由于 $\psi _{x}'=P$，则 $\psi _{xy}'=P_{y}$，类似地 $\psi _{yx}'=Q_{x}$。因此，如果该方程是精确的，我们肯定需要

$P_{y}=Q_{x}$

或者用不同的说法

${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}$

这可以被写成一个定理。

定理

假设 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 具有连续偏导数，并且满足关系 ${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.$ 那么存在一个函数 $\psi (x,y)$ 使得 ${\frac {\partial \psi }{\partial x}}=P$ 且 ${\frac {\partial \psi }{\partial y}}=Q.$

证明。 我们通过显式构造 $\psi (x,y)$ 来证明这一点。 首先注意到，如果 $\psi$ 存在，则通过对表达式 $\psi _{x}=P$ 关于 $x$ 进行积分，我们得到

$\psi (x,y)=\int P(x,y)\,dx+h(y).$

这里 $\int P(x,y)\,dx$ 是将 $P(x,y)$ 关于 x 求不定积分，将 y 视为常数。 需要添加一个函数 $h(y)$，因为对于任何函数 ${\frac {\partial }{\partial x}}h(y)=0$。 因此，根据上述定义，$\partial _{x}\psi =0$.

现在我们需要确定$h(y)$。为此，我们使用$\psi _{y}=Q$。

注意，当这种情况发生时，Pdx+Qdy 和 ${\partial u \over \partial x}dx+{\partial u \over \partial y}dy$ 必须相同，这意味着$P={\partial u \over \partial x}$ 和 $Q={\partial u \over \partial y}$。这意味着 ${\partial P \over \partial y}={\partial Q \over \partial x}$。我们现在将证明，当混合导数 ${\partial u^{2} \over \partial x\partial y}$ 是连续的时，这也是一个充分条件。

证明

首先，取积分

$u=\int _{x_{0}}^{x}Pdx+\Phi (y)$

这显然满足条件 P=${\partial u \over \partial x}$。

为了使其满足另一个条件，Q(x,y)=${\partial u \over \partial y}$，这意味着

$Q(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}{\partial P \over \partial y}dx+\Phi \prime (y)$
$=\int _{x_{0}}^{x}{\partial Q \over \partial x}dx+\Phi \prime (y)$
$=Q(x,y)-Q(x_{0},y)+\Phi \prime (y)$

在等式两边消去 Q(x,y)，得到$\Phi (y)=\int _{y_{0}}^{y}Q(x_{0},y)dy$.

这证明了该方程是精确的，并且

$u=\int _{x_{0}}^{x}Pdx+\int _{y_{0}}^{y}Q(x_{0},y)dy=C$ 是微分方程的一个积分。

注意，只有 C 是任意常数。改变$y_{0}$ 只会使积分值改变一个常数，该常数会被 C 吸收。改变$x_{0}$ 也只会改变一个常数，因为${\partial P \over \partial y}={\partial Q \over \partial x}$.

例子

考虑以下 DE

$(y-x^{2})dx+xdy=0$

注意

${\partial (y-x^{2}) \over \partial y}={\partial x \over \partial x}=1$ 并且 1 是一个连续函数，所以根据上面的证明，该方程是精确的。

因此，积分是

$u=\int _{x_{0}}^{x}Pdx+\int _{y_{0}}^{y}Q(x_{0},y)dy=C$

取$x_{0}=0$ 和$y_{0}=0$

即$u={\bigg [}{xy-{\frac {x^{3}}{3}}}{\bigg ]}_{x=0}^{x=x}+{\bigg [}{x_{0}y}{\bigg ]}_{y=0}^{y=y}=xy-{\frac {x^{3}}{3}}=C$

一阶常微分方程的积分因子

考虑以下形式的方程

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x),$

其中 P(x)、Q(x) 和 y 都是 x 的函数。这正如之前讨论的那样，是一个一阶**线性**微分方程。为了使该方法有效，必须严格遵守这种形式 - 导数必须单独存在。

通常，这些方程不是精确的。但是，正如之前所做的那样，可以通过乘以一个积分因子 I(x)（另一个 x 的函数）使它们变得精确。

将原始方程乘以 I(x)

(1):$I(x){\frac {dy}{dx}}+I(x)P(x)y=I(x)Q(x)$

这将是我们新的、可解的、微分方程。现在考虑以下乘积的导数

(2):${\frac {d}{dx}}\left(I(x)\cdot y\right)=I(x){\frac {dy}{dx}}+I^{\prime }(x)y$

现在，如果我们使 (1) 的右侧等于 (2) 的左侧，则

(3):$I(x)Q(x)={\frac {d}{dx}}\left(I(x)\cdot y\right)$

通过等式另一半，得到

(4):$I(x){\frac {dy}{dx}}+I(x)P(x)y=I(x){\frac {dy}{dx}}+I^{\prime }(x)y$

简化为

(5):$I(x)P(x)=I^{\prime }(x)$

通过使方程相等以得到 (3)，迫使乘以 I(x) 在 (1) 的右侧产生一个乘积的导数，即

(6):$I(x){\frac {dy}{dx}}+I(x)P(x)y={\frac {d}{dx}}\left(I(x)\cdot y\right)$

因此，新的微分方程是精确的，并且可以更容易地求解。我们现在从 (5) 中找到函数 I(x)。这里我们将稍微改变一下符号。

${\frac {dI}{dx}}=I\cdot P(x)$

${\frac {1}{I}}{\frac {dI}{dx}}=P(x)$

$\int {\frac {1}{I}}dI=\int P(x)dx$

$\ln |I|=\int P(x)dx$

$|I|=e^{\int P(x)dx}$

$I=\pm e^{\int P(x)dx}$

我们将此作为我们的积分因子。我们可以忽略负因子，因为当微分方程的两边都乘以它时，它们会相互抵消。因此，我们的积分因子是

$I(x)=e^{\int P(x)dx}$

为了解微分方程，我们用此因子相乘，然后解方程，因为其中一边可以转化为乘积的导数。

一般积分因子

现在我们把一阶线性微分方程推广到 Pdx+Qdy=0 形式的函数，这是我们从本节开头开始的微分方程。它们有时不精确。然而，当乘以函数 h(x,y) 时，积 hPdx+hQdy=0 可能精确。

定理：形式为 Pdx+Qdy=0 的方程，它只有一个积分解，带有任意常数 C，它有无限多个积分因子。

证明：假设解为 f(x,y)=C。微分是

${\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy=0$

由于 f(x,y)=c 是 Pdx+Qdy=0 的解，它必须满足

${\frac {f_{x}}{P}}={\frac {f_{y}}{Q}}$

这意味着存在一个函数 h，使得

${\partial f \over \partial x}=hP$

以及

${\partial f \over \partial y}=hQ$.

显然，这是一个积分因子。此外，令 S(f) 为 f 的任意函数。

那么 $hS(f)(Pdx+Qdy)$ 等于 $S(f)({\partial f \over \partial x}dx+{\partial f \over \partial y}dy)$ 因此 hS(f) 也是一个积分因子。