常微分方程/精确解 2

一阶微分方程

本页面详细介绍了一种查找以下形式方程解的方法

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x),$

使用积分因子：$I(x)=e^{\int P(x)dx}$

例 1

考虑以下方程

${\frac {dy}{dx}}+3y=xe^{-3x}+1$

现在$P(x)=3$ 因此积分因子为

$I(x)=e^{\int P(x)dx}$

$I(x)=e^{\int 3dx}$

$I(x)=e^{3x}$

将原始方程乘以$I(x)$

$e^{3x}{\frac {dy}{dx}}+e^{3x}3y=e^{3x}(xe^{-3x}+1)$

$e^{3x}{\frac {dy}{dx}}+e^{3x}3y=x+e^{3x}$

然后尝试：${\frac {d}{dx}}(ye^{3x})=e^{3x}{\frac {dy}{dx}}+e^{3x}3y$

它等于 LHS，得到

${\frac {d}{dx}}(ye^{3x})=x+e^{3x}$

然后对 x 进行积分

$\int {\frac {d}{dx}}(ye^{3x})dx=\int xdx+\int e^{3x}dx$

得到

$ye^{3x}={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {e^{3x}}{3}}+C$

$y={\frac {x^{2}}{2e^{3x}}}+{\frac {1}{3}}+Ce^{-3x}$（这是通解）