常微分方程/精确方程

简介

假设函数 $F(x,y)$ 代表某些物理量，例如 $xy$ 平面中的某个区域的温度。那么，F 的等高线，其中 $F(x,y)={\text{constant}}$，可以解释为天气图上的等温线（即天气图上代表恒定温度的曲线）。沿着其中一条曲线，$\gamma (x)=(x,y(x))$，恒温，我们有，根据链式法则和温度 F 在这些曲线上是恒定的这一事实

$$0={\frac {\mathrm {d} F(\gamma (x))}{\mathrm {d} x}}=F_{x}+F_{y}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}.$$

乘以 $\mathrm {d} x$ 我们得到 $$0=F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y.$$ 因此，如果我们没有给出原始函数 F，而只给出了以下形式的方程

$$M(x,y)\mathrm {d} x+N(x,y)\mathrm {d} y=0,$$

我们可以设置 $F_{x}:=M(x,y),F_{y}:=N(x,y)$，然后通过积分找出原始的 $F$。

方法的正式步骤

(1) 首先确保存在这样的 $F$，通过检查精确性条件

$${\frac {\partial {}M}{\partial {}y}}={\frac {\partial {}N}{\partial {}x}}.$$

这是因为如果存在这样的 F，那么 ${\frac {\partial {}M}{\partial {}y}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial {}y\partial {}x}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial {}x\partial {}y}}={\frac {\partial {}N}{\partial {}x}},$

其中 ${\frac {\partial }{\partial {}x}}$ 和 ${\frac {\partial }{\partial {}y}}$ 分别表示对变量 $x$ 和 $y$ 的偏导数（在求导时，我们将另一个变量视为常数）。

(2)其次，分别对 $M,N$ 进行关于 $x,y$ 的积分： $$\int \!{}M(x,y)dx=\int \!{}F_{x}(x,y)dx=F(x,y)+a(y)$$ $$\int \!{}N(x,y)dy=\int \!{}F_{y}(x,y)dy=F(x,y)+b(x)$$

对于一些未知函数 $a,b$ （这些在对单个变量进行积分时充当积分常数）。因此，为了获得 $F$ ，剩下的就是确定 $a$ 或 $b$ 。

(3)将上面两个关于 $F(x,y)$ 的公式相等： $\int \!{}M(x,y)\mathrm {d} x+a(y)=F(x,y)=\int \!{}N(x,y)\mathrm {d} y+b(x).$

(4) 由于要找到 $F$ 只需确定 $a$ 或 $b$，选择更容易计算的积分。假设 $\int M(x,y)\mathrm {d} x$ 更容易计算。为了得到 $a(y)$，我们对 $F$ 的两个表达式关于 $y$ 求导（对于固定的 $x$）：$a'(y)=-\int \!{}M_{y}(x,y)\mathrm {d} x+N(x,y)$，然后关于 $y$ 积分：$a(y)=\int \left[-\int M_{y}(x,y)dx+N(x,y)\right]\mathrm {d} y+c.$

(5)观察到 $a$ 仅仅是 $y$ 的函数，因为如果我们对我们为 $a$ 找到的表达式求导，并使用步骤 $1$，我们会发现 $${\begin{aligned}{\frac {\partial {}a}{\partial {}x}}=&\int \!{}{\frac {\partial }{\partial {}x}}\left[-\int \!{}M_{y}(x,y)\mathrm {d} x+N(x,y)\right]\mathrm {d} y\\=&\int \!{}\left[-M_{y}(x,y)+N_{x}(x,y)\right]\mathrm {d} x\\=&\int \!{}0\mathrm {d} x\\=&0\end{aligned}}$$