常微分方程/存在性

存在性和唯一性

那么，这意味着如果我们有一个初始条件，我们将始终只有一个且只有一个解吗？嗯，不完全是。在某些情况下，仍然可能没有解或有无限多个解。

我们将注意力限制在微分方程$y'=f(x,y)$ 的特定矩形上，其中解穿过矩形的中心。设矩形的高度为 h，宽度为 w。现在，设 M 为矩形中 f(x,y) 的绝对值的 上界。定义 b 为 w 和 h/M 中较小的一个，以确保函数保持在矩形内。

存在性定理：如果我们有一个初始值问题$y'=f(x,y),y(a)=b$，如果 f(x,y) 在点 (a,b) 周围的某个矩形 I 上有界，则保证存在解。

基本上，这意味着只要在点 (a,b) 处没有间断，该点至少存在一个解。不过，仍然可能存在多个解。

唯一性定理：如果还满足以下Lipschitz 条件

对于矩形中的所有 x，则对于两个点$(x,y_{1})$ 和$(x,y_{2})$，则$|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|<K|y_{2}-y_{1}|$ 对于某个常数$K$，

则解在包含 x=a 的某个区间$J$ 上是唯一的。

因此，如果满足 Lipschitz 条件，并且$f(x,y)$ 有界，则存在解且解是唯一的。如果不满足 Lipschitz 条件，则至少存在另一个解。此解通常是一个平凡解$y(x)=k$，其中 k 是一个常数。

我们将使用两种不同的方法来证明这些定理。第一种方法是逐次逼近法，第二种方法是柯西-利普希茨方法。

让我们尝试一些例子。

示例 9

$y'=ky,y(10)=500$

方程$f(x,y)=ky$ 是否连续？是。

方程${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}=k$ 是否连续？是。

所以解存在且唯一。

例 10

$y'={\frac {1}{x}},y(0)=5$

方程$f(x,y)={\frac {1}{x}}$ 是否连续？否。在 x=0 处存在间断点。如果我们使用任何其他点，它就会存在。

所以解不存在。

例 11

$y'={\sqrt {y-1}},y(1)=1$

表达式$f(x,y)={\sqrt {y-1}}$ 是否连续？是。

表达式${\frac {\partial {y}}{\partial {x}}}={\frac {1}{2(y-1)^{\frac {1}{2}}}}$ 当 y(1)=1 时是否连续？否。它在 y=1 处不连续（即，它在$y=1$处未定义）并且当$y\to 1$时无界），但对所有 x 都是连续的。

利普希茨条件不满足，尽管存在条件满足。因此，解存在但不必唯一。

第一个解是$y(x)={\frac {(x-1)^{2}}{4}}+1,x\geq 1$。

另一个解恰好是平凡解，$y(x)=1$。