常微分方程/一阶线性 1

一阶微分方程

什么是线性一阶方程？

线性一阶方程是以下形式的方程：

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$.

其中最简单的情况如示例 1 所示，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 不是函数而是简单的常数。线性一阶方程很重要，因为它们经常出现在自然界和物理学中，并且可以通过一种相当直接的方法来解决。

我们首先通过启发解法来开始。首先回顾一下，乘积法则指出 $[f(x)\cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$。关键的观察是，一阶 ODE 的左侧似乎与乘积法则非常相似。有一个包含 $y$ 导数的项，还有一个不包含 $y$ 导数的项。

让我们比较左侧

${\frac {dy}{dx}}+P(x)y$

与应用于包含 $y$ 的乘积的乘积法则。注意 ${\frac {d}{dx}}$ 等于素数 $'$ 运算符。

${\frac {d}{dx}}{\Big [}\mu (x)y(x){\Big ]}=\mu (x){\frac {dy}{dx}}+{\frac {d\mu }{dx}}y(x)$.

我们首先注意到，在一阶常微分方程的左侧，在 $\mu (x)$ 之前，没有 ${\frac {dy}{dx}}$ 的项。我们可以尝试通过乘以 $\mu (x)$ 来修正。然后常微分方程将变成

$\mu (x){\frac {dy}{dx}}+\mu (x)P(x)y=\mu (x)Q(x).$

但现在这只有在 ${\frac {d\mu }{dx}}=\mu (x)P(x)$ 且因此 $\mu (x){\frac {dy}{dx}}+y(x){\frac {d\mu }{dx}}=\mu (x)Q(x)$ 时，看起来才像乘积法则，但我们目前还不确定。但是这个简单的方程很容易求解，因为它是一个可分离的方程。将它的两边都除以 $\mu (x)$ 并积分，得到

$\int {\frac {1}{\mu (x)}}{\frac {d\mu }{dx}}\,dx=\int P(x)\,dx$

通过替换积分左侧的积分，就变成了 $\ln |\mu (x)|$。因此，将自然对数移到右边，我们有

$\mu (x)=e^{\int P(x)\,dx}.$

这非常重要，被称为“积分因子”。因此，我们的原始常微分方程可以改写为

$e^{\int P(x)\,dx}{\frac {dy}{dx}}+P(x)e^{\int P(x)\,dx}y=e^{\int P(x)\,dx}Q(x)$

但现在引入 $\mu (x)$ 的整个目的是试图将该常微分方程的左侧变成 $[\mu (x)y]'$ 以便于积分，而这正是我们所做的。因此

$[e^{\int P(x)\,dx}y]'=e^{\int P(x)\,dx}Q(x).$

因此我们可以对等式两边积分，然后解出y得到

$e^{\int P(x)\,dx}y=\int e^{\int P(x)\,dx}Q(x)\,dx.$

$y=e^{-\int P(x)\,dx}\int e^{\int P(x)\,dx}Q(x)\,dx.$

下面我们将提供另一种推导该公式的方法。

示例 1：P 和 Q 是常数

假设我们有以下等式

${\frac {dy}{dx}}=my+n$

其中 n 和 m 是常数。解出 y。

步骤 1：求解积分因子 $e^{\int P(x)dx}$，

其中 P(x) = m，常数的积分是

$\int mdx=mx+C$

得到

$e^{\int P(x)dx}=e^{mx}e^{c}=Ce^{mx}$

$e^{c}$ 合并为 C。令 C=1，我们得到 e^mx。

步骤 2：用刚刚找到的积分因子乘以整个方程。

$e^{mx}{\frac {dy}{dx}}+e^{mx}my=ne^{mx}\,$

步骤 3：识别出左边是 ${\frac {d}{dx}}{\Big [}e^{\int P(x)dx}y{\Big ]}$，

即符合乘积法则，得到。

${\frac {d}{dx}}{\Big [}e^{mx}y{\Big ]}=ne^{mx}$

步骤 4：对等式两边关于 x 积分，

左侧现在很容易集成。

$\int ({\frac {d}{dx}}e^{mx}y)dx=\int ne^{mx}dx$

$e^{mx}y={\frac {n}{m}}e^{mx}+C$

步骤 5: 最后解出 y

$y={\frac {n}{m}}+Ce^{-mx}$

示例 2: P 和 Q 是 x

取方程

${\frac {dy}{dx}}+xy=x$

求解 y。

步骤 1: 查找 $e^{\int P(x)dx}$, P(x) = x，x 的积分是

$\int x={\frac {1}{2}}x^{2}+C$

得到

$e^{\int P(x)dx}=Ce^{{\frac {1}{2}}x^{2}}$

令 C=1，我们得到 $e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}$

步骤 2: 乘以

$e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}{\frac {dy}{dx}}+e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}xy=e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}x$

步骤 3: 认识到左侧是 ${\frac {d}{dx}}e^{\int P(x)dx}y$，给出

${\frac {d}{dx}}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}y=e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}x$

步骤 4: 积分

$\int ({\frac {d}{dx}}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}y)dx=\int xe^{{\frac {1}{2}}x^{2}}dx$

$e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}y=e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}+C$

步骤 5: 求解 y

$y=1+{\frac {C}{e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}}}$

示例 3: P 和 Q 不相关

取方程

${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=x$

求解 y。

在开始之前，我们注意到对于函数 y，我们不能保证对于所有 x 都有解，因为系数在 0 处不连续。所以我们可以找到在 $x\in (0,\infty )$ 或 $x\in (-\infty ,0)$ 的解。为了这个解的目的，我们将假设 $x\in (0,\infty )$.

步骤 1: 求 $e^{\int P(x)dx}$，$P(x)=1/x$，

以及 1/x 的积分是

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln(x)+C$

得到

$e^{\int P(x)dx}=Ce^{\ln(x)}=Cx$

令 C=1，得到 x。

步骤 2: 乘以

$x{\frac {dy}{dx}}+y=x^{2}$

步骤 3: 认识到左边是 ${\frac {d}{dx}}e^{\int P(x)dx}y$

${\frac {d}{dx}}[xy]=x^{2}$

步骤 4: 对两边进行关于 x 的积分。

$\int {\frac {d}{dx}}[xy]\,dx=\int x^{2}dx$

$xy={\frac {1}{3}}x^{3}+C$

步骤 5: 求解 y

$y={\frac {1}{3}}x^{2}+{\frac {C}{x}}$

另一种推导方式

有一种求解非齐次方程的策略叫做参数变异法，其步骤如下。首先求解齐次方程的通解。猜测非齐次方程的解可以写成与齐次方程解相同的形式，只是未知常数被未知函数代替。然后将这种形式的解代回原方程，看是否能找到未知函数的值。

这种方法在处理一阶线性方程时效果很好，并且为我们提供了另一种推导解的公式的方法，我们将在下面介绍。

1. 首先，令Q(x) 等于 0，以便得到一个齐次线性方程（这个术语的使用要区别于前面几节中 "齐次" 的含义）。
   
   ${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=0$
   
   
2. 这个方程是可分离的，因此将它分离
   
   ${\frac {dy}{y}}+P(x)dx=0$
   
   
3. 求解该方程得到解
   
   $y=Ce^{-\int P(x)dx}$
   
   
4. 现在令C 被 x 的可变函数替换，并将其表示为 g(x)。
   
   $y=g(x)e^{-\int P(x)dx}$
   
   
5. 将前面的方程代入微分方程得到
   
   $g'(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$
   
   
6. 现在求解 g(x) 得到
   
   $g(x)=C+\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$
   
   

1. 现在将这个 g(x) 的表达式代入得到通解
   
   $y=g(x)e^{-\int P(x)dx}=Ce^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$

从非线性方程构造线性方程

有时，一个无法像这样求解的非线性方程可以通过应用替换操作变成线性方程，从而更容易求解。

示例

$y{\frac {dy}{dx}}+xy^{2}=5x$

让我们进行以下替换

$v=y^{2}\,$

${\frac {dv}{dx}}=2y{\frac {dy}{dx}}$

代入后，我们得到

${\frac {1}{2}}{\frac {dv}{dx}}+xv=5x$

${\frac {dv}{dx}}+2xv=10x$

然后我们可以像上面那样，使用逐步方法，将它作为关于v 的线性方程来求解

步骤 1：求积分因子

$e^{\int P(x)dx}$

$e^{\int 2xdx}=e^{x^{2}+C}$

$e^{\int P(x)dx}=Ce^{x^{2}}$

为了方便，令 C=1，我们得到$e^{x^{2}}$ 作为我们的积分因子。

步骤 2: 乘以

$e^{x^{2}}{\frac {dv}{dx}}+e^{x^{2}}xv=10e^{x^{2}}x$

步骤 3：识别出左侧是${\frac {d}{dx}}e^{\int P(x)dx}v$

${\frac {d}{dx}}e^{x^{2}}v=10e^{x^{2}}x$

步骤 4: 对两边进行关于 x 的积分。

$\int ({\frac {d}{dx}}e^{x^{2}}v)dx=\int 10e^{x^{2}}xdx$

$e^{x^{2}}v=5e^{x^{2}}+C$

步骤 5：求解 v。

$v=5+{\frac {C}{e^{x^{2}}}}$

现在我们有了 v，求解 y。

$v=y^{2}\,$

$y^{2}=5+{\frac {C}{e^{x^{2}}}}\,$