常微分方程/一阶线性 2

返回指数增长

还记得人口增长问题吗？其中${\frac {dP}{dt}}=(B-D)P$？现在我们可以求解线性方程，也可以求解其中添加了因子$f(t)$ 的变体。新方程是${\frac {dP}{dt}}=(B-D)P+f(t)$，可以使用上一节中介绍的线性方法求解。

移民

假设除了正常的人口增长外，还有 1000 人搬到一座城市。这可以通过使$f(x)=1000$ 来解释。这给了我们一个线性微分方程来求解

${\frac {dP}{dt}}=kP+1000$

${\frac {dP}{dt}}-kP=1000$

步骤 1：查找 $e^{\int P(t)dt}$

$\int kdt=kt+C$

$e^{\int P(t)dt}=Ce^{kt}$

令 C=1，得到 $e^{kt}$

步骤 2：乘以

$e^{kt}P'+e^{kt}P=1000e^{kt}$

步骤 3：识别出左边是 ${\frac {d}{dt}}e^{\int P(t)dt}y$

${\frac {d}{dt}}e^{kt}P=1000e^{kt}$

步骤 4：积分

$\int ({\frac {d}{dt}}e^{kt}P)dt=\int 1000e^{kt}dt$

$e^{kt}P={\frac {1000}{k}}e^{mt}+C$

步骤 5：解出 y

$P={\frac {1000}{k}}+{\frac {C}{e^{kt}}}$

如您所见，答案是在正常解的基础上添加一个常数，正如预期的那样。

狩猎

假设政府允许每年捕杀 10 只动物。这使得 $f(t)=-10t$。这将如何影响解？

${\frac {dP}{dt}}=kP-10t$

${\frac {dP}{dt}}-kP=-10t$

步骤 1：查找 $e^{\int P(t)dt}$

$\int kdt=kt+C$

$e^{\int P(t)dt}=Ce^{kt}$

令 C=1，得到 $e^{kt}$

步骤 2：乘以

$e^{kt}P'+e^{kt}P=-10te^{kt}$

步骤 3：识别出左边是 ${\frac {d}{dt}}e^{\int P(t)dt}y$

${\frac {d}{dt}}e^{kt}P=-10te^{kt}$

步骤 4：积分

$\int ({\frac {d}{dt}}e^{kt}P)dt=\int -10te^{kt}dt$

$e^{kt}P={\frac {-10(kx-1)e^{kx}}{k^{2}}}+C$

步骤 5：解出 y

$P={\frac {-10(kx-1)}{k^{2}}}+{\frac {C}{e^{kx}}}$

混合问题

想象一下，我们有一个装有水和某种物质（例如盐）溶液的储罐。我们有浓度为 $C_{i}$、速率为 $R_{i}$ 的水流入储罐。我们还有浓度为 $C_{o}$、速率为 $R_{o}$ 的水流出储罐。因此，储罐中浓度发生了变化。

${\frac {dx}{dt}}=R_{i}C_{i}-R_{o}C_{o}$

仔细思考一下，$R_{i}$、$C_{i}$ 和 $R_{o}$ 是常数，但 $C_{o}$ 取决于水箱中当前的浓度，而该浓度并不固定。当前的浓度是 ${\frac {x}{V}}$，其中 V 是水箱中水的体积。不幸的是，体积会根据水箱中水的多少而变化。如果水箱最初的体积是 $V_{0}$，那么 t 时刻的体积是 $V(t)=V_{0}+t(r_{i}-r_{o})$。这使得最终方程成为

$x'=R_{i}C_{i}-{\frac {R_{o}x}{V_{0}+t(R_{i}-R_{o})}}$

这是一个明显的线性方程。让我们来解决它。

$x'+{\frac {R_{o}x}{V_{0}+t(R_{i}-R_{o})}}=R_{i}C_{i}$

步骤 1：查找 $e^{\int P(t)dt}$

$\int {\frac {R_{o}}{V_{0}+t(R_{i}-R_{o})}}={\frac {R_{o}ln((R_{i}-R_{o})t+V_{0})}{R_{i}-R_{o}}}+C$

$e^{\int P(t)dt}=Ce^{\frac {R_{o}ln((R_{i}-R_{o})t+V_{0})}{R_{i}-R_{o}}}=C((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}$

令 C=1，得到 $((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}$

步骤 2：乘以

$((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}x'+((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}{\frac {R_{o}x}{V_{0}+t(R_{i}-R_{o})}}=((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}R_{i}C_{i}$

步骤 3：识别出等式左侧是 ${\frac {d}{dt}}e^{\int P(t)dt}x$

${\frac {d}{dt}}((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}x=((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}R_{i}C_{i}$

步骤 4：积分

$\int (((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}x)dt=\int (R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}R_{i}C_{i}dt$

$((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}x={\frac {C_{i}V_{0}((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{i}}{V_{0}}}}{(R_{i}-R_{o})}}$

步骤 5：解出 y

$x={\frac {C_{i}V_{0}((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{i}}{V_{0}}}}{(R_{i}-R_{o})((R_{i}-R_{o})t+V_{0})^{\frac {R_{o}}{R_{i}-R_{o}}}}}$

看起来很复杂，不是吗？在处理实际混合问题时，通常会在更早的阶段代入数值，这使得处理起来更加容易。