常微分方程/解在区间上的全局唯一性

如果一个 IVP 的解存在局部唯一性（例如由皮卡-林德洛夫定理隐含），并且如果我们只考虑在区间上的解，那么解就存在全局唯一性。

定理。区间上的唯一性

定理 如果区间上的解在一个点上重合，那么它们是相同的

假设

1. $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是 IVP 的解
2. $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是局部唯一解（例如由皮卡-林德洛夫定理得出）
3. $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的定义域都是区间（包含 $x_{0}$，否则初始条件就毫无意义）

结论

1. $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 在它们的共同定义域内重合：$\forall x\in Dom(y_{1})\cap Dom(y_{2})\,y_{1}(x)=y_{2}(x)$
2. 如果 $Dom(y_{1})=Dom(y_{2})$，$y_{1}=y_{2}$
3. $y={\begin{cases}y_{1}&x\in Dom(y_{1})\\y_{2}&x\in Dom(y_{2})\end{cases}}$

也是一个解决方案，其定义域为$Dom(y_{1})\cup Dom(y_{2})$。此符号由于上述假设而不会造成歧义。

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示例：y'=y 在不同的区间定义域中

示例

考虑 IVP $y'=y,\,y(0)=1$。因此 $F(x,y)=y$.

${\begin{aligned}y_{1}:\,&]-2,2[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{2}:\,&]-1,3[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{3}:\,&]-2,3[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

$y_{1}$

$y_{2}$

$y_{3}$

那么 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 都满足定理的所有假设

1. 两者都是 IVP 的解
2. 两者都是局部唯一的，因为 $F(x,y)$ 在其整个定义域中满足皮卡-林德洛夫定理（$F\in \mathbb {C} ^{1}$，因此它也是局部利普希茨的）
3. $Dom(y_{1})$ 和 $Dom(y_{2})$ 都是区间，分别为 $]-2,2[$ 和 $]-1,3[$。

然后我们观察所有结论

1. 在 $Dom(y_{1})\cap Dom(y_{2})=]-1,2[$ 中，$y_{1}=y_{2}$
2. 如果我们固定区间 $]-2,2[$ 和 $]-1,3[$，那么 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是唯一具有这些域的解
3. $y={\begin{cases}y_{1}&x\in Dom(y_{1})\\y_{2}&x\in Dom(y_{2})\end{cases}}=y_{3}$

也是 IVP 的解，其域为 $]-2,3[$。

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备注。不同的域，不同的函数

备注 不同的域意味着完全不同的函数。

从集合论中记住，函数只是一个有序对的集合。例如

$f_{1}=\{(0,1)\}$

$f_{2}=\{(0,1),(1,2)\}$

是两个函数，使得 $Dom(f_{1})={0}$ 以及 $f(0)=1$，并且 $Dom(f_{2})={0,1}$，$f(0)=1$ 以及 $f(1)=2$。请注意，它们在它们域的交集处重合：$f_{1}(0)=f_{2}(0)=1$

然而，它们并不相等。请记住，两个集合相等当且仅当它们具有完全相同的元素，而对于 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 显然并非如此，因为 $(1,2)\in f_{2}$ 但 $(1,2)\notin f_{1}$。因此，$f_{1}$ 和 $f_{2}$ 是两个完全不同的集合，因此也是两个完全不同的解。

同样的事情也适用于两个函数，例如

${\begin{aligned}y_{1}:\,&]-2,2[\,\to \,]e^{-2},e^{2}[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{2}:\,&]-1,3[\,\to \,]e^{-1},e^{3}[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

很多时候，函数的定义域是隐含的，我们忘记了它，通常取最大的可能定义域。但有时取最大的可能定义域可能并不合适。例如，在求解微分方程时，取一个过大的定义域（而不是一个区间）可能不会导致唯一性，这是不可取的。在这些情况下，必须很好地指定我们谈论的是什么定义域。

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反例。不是一个区间。

反例

取 IVP $y'=y,\,y(0)=1$。观察无穷的解族

${\begin{aligned}y_{a}:&Dom(y_{a})=]-1,1[\,t\cup \,]2,4[\\&x\mapsto {\begin{cases}e^{x}&x\in ]-1,1[\\ae^{(x-3)}&]2,4[\end{cases}}\end{aligned}}$

$y_{a}$ 对于三个 a 值

每个 a 值 ( = (y(3) ) 决定。

这些解满足定理的所有条件，除了它们的公共域 $]-1,1[\,\cup \,]2,4[$ 不是一个区间。然后我们观察到所有结论对于 $a\neq a'$ 都是失败的。

1. 在 $]2,4[\subset Dom(y_{1})\cap Dom(y_{2})$ 内，$y_{a}\neq y_{a'}$
2. 两者具有相同的域，但 $Dom(y_{a})=Dom(y_{a'})=]-1,1[\,\cup \,]2,4[$，但 $y_{a}\neq y_{a'}$

所有这些都发生是因为初始条件的唯一性无法从 $x_{0}=0$ 传播到域的另一侧 $]2,4[$。

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