常微分方程/高阶 1

初始值问题

初始值问题在高阶中仍然存在。然而，由于我们需要进行两次或更多次积分，因此将存在多个积分常数，而且它不总是单个任意常数。在后面的章节中，我们将通过存在性定理说明，在满足适当条件的初始值问题中，n阶方程将有一个解，该解由 n 个任意常数给出，因此通常包含 n 个任意常数。

二阶初始值问题

我们来看一个简单的方程

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=2$.

为了求解此方程，我们进行两次积分

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=2x+C$

$y=x^{2}+Cx+D.\,$

代入并检查，这就是解。请注意有两个未知数。为了求解，我们需要两个初始条件。对于普通方程来说，这样做就可以了 - 两个方程，两个未知数。这里的问题是，两个常数相互依赖。假设我们有以下初始条件

$y(x_{0})=b_{0}\,$ 和 $y(x_{1})=b_{1}.\,$

对于y来说，可能存在多条曲线能够经过这两个点。

我们如何解决这个问题？我们无法用两个关于y的初始条件来解决。相反，我们需要一个关于y和y'的初始条件。更重要的是，它们需要在同一点。我们需要

$y'(a)=b_{0}\,$ 和 $y(a)=b_{1}\,$.

有了这些，您可以代入y'并求解 C，然后求解 D。

n^th 阶初始值问题

因此，为了得到n阶微分方程的特解，我们需要n个初始条件。初始条件必须采用以下形式

$y(a)=b_{0},\ y'(a)=b_{1},\ y''(a)=b_{2},\ldots ,\ y^{(n)}(a)=b_{n}$

可分离方程

坏消息 - 可分离方程在高阶中实际上并不存在。您最终只得到一小部分可以用这种方式求解的问题。

二阶可分离方程

实际上不存在真正的二阶或更高阶可分离方程。主要是因为我们有 3 个变量。但是，假设我们有一个以下形式的方程

$y''=f(y')g(x).\,$

虽然这不是一个可以分离求解y的方程 - 但对于y'来说是一个一阶可分离方程。我们可以用v替换y'（用v'替换y''）并求解v，然后对x积分求解y。

需要示例

n阶可分离方程

我们在n阶方程中可以做同样的事情。如果我们有一个如下形式的方程

$y^{(n)}=f(y^{(n-1)})g(x),\,$

我们可以使用可分离技术来求解y^(n-1)，并积分n-1次来求解y。

线性方程

高阶线性方程确实存在。但是，它们并不容易求解 - 我们没有像一阶方程那样简单的方法。我们将在这章的其他课程中专门讨论一个易于求解的子集 - 常系数。

解的存在性和唯一性

在一阶方程中，如果函数的所有项都是连续的，我们保证有一个唯一解。在n维空间中，也是类似的。

给定一个初值问题

$y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+...+p_{n}(x)y=f(x)\,$

在x=a处有初始条件，如果

$p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ldots ,\ p_{n}(x)$ 和 $f(x)\,$

在某个区间 I 上都是连续的。

叠加原理

在许多高阶方程中，一个问题可能有多个解。例如，二阶微分方程

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-y=0$

既满足于

$y=C_{1}e^{x}\,$ 也满足于 $y=C_{2}e^{-x}\,$.

将它们代入 - 它们都能满足。那么我们如何得到我们所保证的唯一解呢？

我们将它们加起来。这就是叠加原理

如果 $y_{1}=f(x)\,$ 和 $y_{2}=g(x)\,$ 都是线性微分方程的解，那么 $y=f(x)+g(x)\,$ 也是一个解。

让我们说明一下。假设u和v是解，其中y=u和y=v是不同的解，它们由x的函数组成，是微分方程的解

(1)$a{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+cy=0.$

然后，

(2)$a{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+cu=0$

以及

(3)$a{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}+cv=0$

二阶微分方程需要两个任意常数才能正确定义。因此，假设通解为

(4)$y=Au+Bv,\,$

其中 A 和 B 是我们的常数。然后，

(5)${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=A{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+B{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}$

以及

(6)${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=A{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}+B{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} x^{2}}}$

代入原始微分方程（1），我们得到

(7)$a\left(A{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}+B{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)+b\left(A{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+B{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}\right)+c\left(Au+Bv\right)=0$

现在，重新分组以将所有关于 u 的函数放在一起，并将关于 v 的函数放在一起，我们得到

(8)$A\left(a{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}+cu\right)+B\left(a{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} x^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}+cv\right)=0$

根据我们在(2)和(3)中的定义，我们有

(9)$A\times 0+B\times 0=0\,$

现在，由于A和B只是数字，所以这是正确的，因此我们的原始假设必须是正确的，所以

$y=Au+Bv\,$

是通解，而y=u和y=v是不同的解。现在为了解这个方程，我们需要找到u和v。这将在下一课中完成。