常微分方程/齐次二阶方程

介绍

二阶方程的通用形式为 $2^{\text{nd}}$ ${\begin{aligned}y''=f(t,y,y').\end{aligned}}$ 如果方程可以写成 $y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$ 的形式，我们称它们为线性非齐次方程，并且如果该方程除了是线性非齐次方程外，还满足 $g(t)=0$ ，则称其为线性齐次方程。 $y''+p(t)y'+q(t)y=0.$ 特征方程法适用于齐次方程，待定系数法和参数变异法适用于非齐次方程。

方法 1：特征方程

如果方程是线性齐次方程，并且 $p(t),q(t)$ 是常数，则该方程被称为常系数方程： $ay''+by'+cy=0$ ，我们可以使用特征方程法来求解这类方程。请注意， $a$ 被假定为非零，因为我们正在处理二阶方程。

方法正式步骤

我们假设解的形式为 $y(t)=e^{rt}$ （这被称为做出一个假设）。这会给出 $(ar^{2}+br+c)e^{rt}=0\Longrightarrow \,ar^{2}+br+c=0,$ 该方程被称为特征方程。
因此，要解上述 ODE，只需找到两个根 $r_{1},r_{2}$ 。
那么，通解的形式为： $y(t)=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}.$

示例-展示方法

考虑一个质量为 $m$ 的物体静止地悬挂在长度为 $l$ 、弹簧常数为 $k$ 且阻尼系数为 $\gamma$ 的垂直弹簧末端。令 $u\left(t\right)$ 表示物体从平衡位置的位移，单位为英尺。请注意，由于 $u(t)$ 代表的是物体相对于弹簧平衡位置的位移（当重力向下作用的力与弹簧试图阻止物体进一步拉伸弹簧的力相匹配时得到的那个位置），因此 $u(t)$ 应该向下增加。然后，根据牛顿第三定律，可以得到以下方程式： $mu''(t)+\gamma u'(t)+ku(t)=F(t),$

其中 $F\left(t\right)$ 是任何外力，为了简化，我们将假设它为零。

首先，我们得到特征方程： $mr^{2}+\gamma r+k=0.$
假设 $m=1{\text{lb}},\gamma =5{\text{lb}}/{\text{ft}}/{\text{s}}$ 且 $k=6{\text{lb}}/{\text{ft}}$ ，那么我们得到根 $r_{1}=-2$ 、 $r_{2}=-3$ 。
因此，通解为： $u(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{-3t}.$
此外，如果 $u(0)=0,\,u'(0)=1$ ，我们得到 $c_{1}=1,c_{2}=-1$ ： $u(t)=e^{-2t}-e^{-3t}.$

示例

考虑 IVP

$4y''-y=0,\,\,y(-2)=1,\,\,y'(-2)=-1.$

我们得到特征方程 $4r^{2}-1=0\Rightarrow r=\pm {\frac {1}{2}}$ ，因此通解为 $y(t)=c_{1}e^{\frac {t}{2}}+c_{2}e^{-{\frac {t}{2}}}.$
利用初始条件，我们得到： $1=c_{1}e^{-1}+c_{2}e\,{\text{ and }}\,-1={\frac {1}{2}}(c_{1}e^{-1}-c_{2}e).$
解这两个方程得到： $c_{1}={\frac {-1}{2}}e,c_{2}={\frac {3}{2}}e^{-1}$ ，因此我们 IVP 的解为： $y\left(t\right)=-{\frac {1}{2}}e^{1+{\frac {t}{2}}}+{\frac {3}{2}}e^{-{\frac {t}{2}}-1}.$
因此，当 $t\to +\infty$ 时，我们得到 $y\to -\infty$ .

考虑 IVP

$y''+5y'+6y=0,\,\,y\left(0\right)=2,\,\,y'\left(0\right)=\beta$

特征方程为 $r^{2}+5r+6=0\Rightarrow r=-2,-3$ ，因此通解为： $y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{-3t}$
利用初始条件，我们得到： $2=c_{1}+c_{2}\,{\text{ and }}\,\beta =-2c_{1}-3c_{2}.$
解这两个方程得到： $c_{1}=(6+\beta ),\,c_{2}=-\left(4+\beta \right)$ ，因此我们 IVP 的解为： $y(t)=(6+\beta )e^{-2t}-(4+\beta )e^{-3t}.$
因此，当 $t\to +\infty$ 时，我们得到 $y\to 0$ 。