常系数齐次方程的一个应用是在机械振动中。想象一个包含弹簧、阻尼器和质量的机械系统。任何时刻弹簧上的力是 F = − k x {\displaystyle F=-kx} ，其中 k 是弹簧常数。阻尼器上的力是 F = − c v {\displaystyle F=-cv} ，其中 c 是阻尼常数。当然，合力是 F = m a {\displaystyle F=ma} 。这给了我们一个系统，其中
m a = − c v − k x {\displaystyle ma=-cv-kx}
记住 v = x ′ {\displaystyle v=x'} 以及 a = x ″ {\displaystyle a=x''} 。这给了我们一个微分方程：
m x ″ = − c x ′ − k x {\displaystyle mx''=-cx'-kx}
m x ″ + c x ′ + k x = 0 {\displaystyle mx''+cx'+kx=0}
在 c=0 的情况下，我们只有一个质量在弹簧上。在这种情况下，我们有 x ″ + k m x = 0 {\displaystyle x''+{\frac {k}{m}}x=0} 。由于 k 和 m 都是正数（根据物理定律），结果始终是 y = c 1 c o s ( k m x ) + c 2 s i n ( k m x ) {\displaystyle y=c_{1}cos({\sqrt {\frac {k}{m}}}x)+c_{2}sin({\sqrt {\frac {k}{m}}}x)} 。从物理角度来看这是有道理的——一个来回运动的弹簧形成一个频率为 k m 2 π {\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {k}{m}}}{2\pi }}} 的周期波。
