常微分方程/导论

可直接积分的微分方程

一个常微分方程的例子是方程

x'(t)=0

.

求解这个方程意味着我们要找到一个定义在某个区间 $I=(a,b)$ 上的函数 $x:I\to \mathbb {R}$ ，使得上面的方程对于所有 $t\in I$ 都成立。也就是说，与诸如

x-3={\frac {1}{2}}

,

这样的“普通”代数方程的解是一个数字（在本例中是 $x={\frac {7}{2}}=3.5$ ）不同，常微分方程的解是一个函数。

微积分中有一个定理说，一个在连通区间 $I=(a,b)$ 上的可微函数 $x:I\to \mathbb {R}$ 导数为零当且仅当它是一个常数函数。因此，方程

x'(t)=0

的解正是常数函数 $x\equiv c$ ( $c\in \mathbb {R}$ )。这里要注意，我们失去了解的唯一性（我们在代数方程的例子中拥有的）；每个常数函数都是解。我们稍后将能够通过施加初始条件来恢复解的唯一性（至少在某些特殊情况下）；例如，如果我们另外要求

x(t_{0})=x_{0}\in \mathbb {R}

(我们还需要 $t_{0}$ 包含在解区间 $I$ 内)，那么我们只有一个选择来求解我们的方程： $c=x_{0}$ .

让我们转向一个稍微复杂一些的微分方程

x'(t)=f(t)

对于某个函数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 。在这种情况下，根据微积分基本定理，我们有

x(t)=\int _{t_{0}}^{t}f(s)ds+C

，其中

t_{0}

包含在解区间

I

中，

其中 $C\in \mathbb {R}$ 是一个任意积分常数。当然， $C$ 的任意性意味着我们有无限多个解，但是通过强加一个初始条件 $x(t_{0})=x_{0}$ ，我们得到 $C$ 必须等于 $x_{0}$ ，因此，如果我们还要求满足初始条件，我们再次得到了唯一的解。

练习

在初始条件 $x(0)=0$ 下，求解微分方程 $x'(t)=t^{2}$ 。更一般地，在初始条件 $x(2-k)=k-2$ 下，求解微分方程 $x'(t)=t^{k}$ 。

常微分方程的阶

我们可能不会考虑方程

x'(t)=0

,

而是考虑方程

x''(t)=0

，或者更一般地，

x''(t)=f(t)

对于一些函数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ . 请注意区别：之前我们只有了一阶导数，现在我们有了二阶导数。新方程仍然是一个常微分方程（我们将在结束时给出常微分方程的精确定义，当我们完成了简单的例子时），但这次涉及二阶导数。这导致了以下定义。

定义 1.1（常微分方程的阶数）:

常微分方程的阶数定义为其中出现的最高阶导数的阶数。也就是说，如果 $x^{(n)}$ 出现于常微分方程中，但对于所有 $m>n$ ， $x^{(m)}$ 不出现在常微分方程中，则 $n$ 是该常微分方程的阶数。

事实上，对于上面的例子，我们可以很容易地使用积分来计算解。如果 $x''(t)=0$ ，则 $x'(t)=c_{1}$ ，其中 $c_{1}\in \mathbb {R}$ 是一个常数。因此，再次积分，我们得到

x(t)=\int _{t_{0}}^{t}x'(s)ds=(t-t_{0})c_{1}+c_{2}

对于一些常数 $c_{2}\in \mathbb {R}$ .

练习

常微分方程 $x'(t)+2x''(t)+3x'''(t)=2t$ 的阶数是多少？ODE $x^{(k)}(t)=t^{2}$ 的阶数是多少？根据最后一个问题，写下一个 23 阶的常微分方程。
在条件 $x(0)=1$ 和 $x(1)=2$ 下求解微分方程 $x''(t)=t^{3}$ 。

线性微分方程

考虑微分方程

x'(t)=cx(t)

,

其中 $c\in \mathbb {R}$ 是一个任意常数。这个微分方程有一个显著的性质：当 $x_{1},x_{2}$ 是它的解时， $ax_{1}+bx_{2}$ 也是它的解，对于任意 $a,b\in \mathbb {R}$ （实际上，复数也是允许的）。更一般地，解的任何线性组合仍然是解。这是导数线性性的直接结果，如下所示