常微分方程/等斜线 1

一阶微分方程

等斜线

等斜线使用另一种方法来消除变量。我们不计算 y'，而是将其设为一个常数。然后我们解出 y 并绘制结果方程。通常你会看到几个不同的常数叠加在一个图上，这样你可以看到不同值之间的比较。

等斜线来自希腊语中“相同斜率”的词。等斜线是一条连接相邻具有相同梯度的点的线，就像地图上的等高线连接所有具有相同高度的相邻点一样。这意味着等斜线表示当边界条件发生变化时，解曲线上一点会发生什么，即 当 C 发生变化时，解是如何变化的。当我们考虑许多等斜线时，它可以帮助我们理解当 C 发生变化时，解是如何“变形”到彼此的。

示例 1: y'=f(x)

图 1: y'=x 的斜率场（黑色）和一些解（红色）

图 2: y'=x 的斜率场（黑色）、一些解（红色）和等斜线（蓝色）

当因变量的导数设为自变量的函数时，那么

${\frac {dy}{dx}}=f(x),$

然后解的斜率仅取决于 x。这意味着 DE 的斜率场只会从左到右改变 - 斜率不会从一点变化到它正上方或正下方的那一点。这可以在图 1 中看到，它显示了

${\frac {dy}{dx}}=x$

以及一些解。正如你所看到的，对应于不同 C 值的不同解彼此直接位于上方和下方。DE 的等斜线通过将 y' 设为一个常数给出

${\frac {dy}{dx}}=k$

从原始 DE，我们现在有

$x=k\,$

图 2 显示了一组对应于一系列 k 的等斜线叠加在图 1 上。我们可以看到这些是垂直线。这意味着解曲线上的一个点的轨迹将是当 C 变化时相应的等斜线。因此，当 C 变化时，解曲线上的一个点将垂直向上和向下移动，因此整个曲线将向上和向下移动。然而，没有保证所有点在相同的 C 变化量中都会移动相同的量。

对于所有形式为

${\frac {dy}{dx}}=f(x).$

示例 2: y'=f(y)

图 3: y'=y 的斜率场（黑色）和一些解（红色）

图 4: y'=y 的斜率场（黑色）、一些解（红色）和等斜线（蓝色）

DE 形式为

${\frac {dy}{dx}}=f(y),$

但等斜线是水平的。这是因为解的梯度与 x 的值无关。例如，考虑

${\frac {dy}{dx}}=y,$

的解。DE 的解和斜率场如图 3 所示。等斜线由

${\frac {dy}{dx}}=k$

从原始 DE，我们现在有

$y=k.\,$

给出。图 4 中叠加了一组这样的等斜线。人们可以很容易地看到所有解只是其他解的左右平移。通过改变 C，解会左右移动。然而，它们移动的量对于 C 的线性变化来说不是线性的，这由红色曲线之间越来越大的间距所表明。等斜线没有传达这个信息。

水平等斜线是所有形式为

${\frac {dy}{dx}}=f(y).$

示例 3: y'=f(x,y)

图 5: y'=xy 的斜率场（黑色）和一些解（红色）

图 6: y'=xy 的斜率场（黑色）、一些解（红色）和等斜线（蓝色）

最后一种等斜线类型是属于 DE 的形式

${\frac {dy}{dx}}=f(x,y).$

对于这些，没有像前两个示例那样的万能规则，但等斜线仍然很容易计算。

考虑 DE

${\frac {dy}{dx}}=xy$

等倾线由以下方程给出：

$xy=k,\,$

图 6 中绘制了不同 *k* 值的等倾线。您可以看到，解曲线的点将垂直地趋向于原点，并水平地远离原点（反之亦然，C 改变方向）。这意味着随着 C 的变化，解将变得越来越平底/顶部，越来越宽或越来越窄，越来越尖。

此类微分方程的等倾线的形状取决于原始方程。