常微分方程/拉普拉斯变换

定义

设 $f(t)$ 是 $[0,\infty )$ 上的函数。 $f$ 的**拉普拉斯变换** 由以下积分定义：

$F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt\,.$

$F(s)$ 的定义域是使积分存在的 $s$ 的所有值。

性质

线性

设 $f$ 和 $g$ 是在 $s>\alpha$ 处存在拉普拉斯变换的函数，设 $a$ 和 $b$ 为常数。那么，对于 $s>\alpha$，

${\mathcal {L}}\{af+bg\}=a{\mathcal {L}}\{f\}+b{\mathcal {L}}\{g\}\,,$

这可以通过使用不当积分的性质来证明。

s 中的平移

如果拉普拉斯变换 ${\mathcal {L}}\{f\}(s)=F(s)$ 存在于 $s>\alpha$，则

${\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a)\,$

对于 $s>\alpha +a$.

证明：

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}(s)&{}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}e^{at}f(t)dt\\&{}=\int _{0}^{\infty }e^{-(s-a)t}f(t)dt\\&{}=F(s-a)\,.\end{aligned}}$

高阶导数的拉普拉斯变换

如果 $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$，则 ${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$

证明

${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=\int _{0}^{\infty }f'(t)e^{-st}dt$

$=\lim _{C\to \infty }\int _{0}^{C}f'(t)e^{-st}dt$

$=\lim _{C\to \infty }\left.e^{-st}f(t)\right|_{0}^{C}-\int _{0}^{C}-sf(t)e^{-st}dt$（分部积分）

$=-f(0)+s\lim _{C\to \infty }\int _{0}^{C}f(t)e^{-st}dt$

$=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)$

$=sF(s)-f(0)\,$

利用以上公式和拉普拉斯变换的线性性质，很容易证明 ${\mathcal {L}}\{f''(t)\}=s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)$

拉普拉斯变换的导数

如果 ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)$，则 ${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)$

一些简单函数的拉普拉斯变换

1. ${\mathcal {L}}\{1\}={1 \over s}$
2. ${\mathcal {L}}\{e^{at}\}={1 \over s-a}$
3. ${\mathcal {L}}\{\cos \omega t\}={s \over s^{2}+\omega ^{2}}$
4. ${\mathcal {L}}\{\sin \omega t\}={\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$
5. ${\mathcal {L}}\{1\}={1 \over s}$
6. ${\mathcal {L}}\{t^{n}\}={n! \over s^{n+1}}$