在数学中，勒让德微分方程为
它们以阿德里安-马里·勒让德命名。该常微分方程在物理学和其他技术领域经常遇到。特别是，它出现在求解球坐标中的拉普拉斯方程（以及相关偏微分方程）时。
勒让德微分方程可以使用标准幂级数方法求解。该方程在 x = ± 1 {\displaystyle x=\pm 1} 处具有正则奇点，因此，一般来说，关于原点的级数解仅在 | x | < 1 {\displaystyle \left\vert x\right\vert <1} 时收敛。当n是整数时，在 x = 1 {\displaystyle x=1} 处为正则的解 P n ( x ) {\displaystyle P_{n}\left(x\right)} 也在 x = − 1 {\displaystyle x=-1} 处为正则，并且此解的级数终止（即为多项式）。
对于 n = 0 , 1 , 2 … {\displaystyle n=0,1,2\dots } 的解（归一化为 P n ( 1 ) = 1 {\displaystyle P_{n}\left(1\right)=1} ）形成一个正交多项式序列，称为勒让德多项式。每个勒让德多项式 P n ( x ) {\displaystyle P_{n}\left(x\right)} 是一个n次多项式。它可以使用罗德里格斯公式表示
![{\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd51c7228067db4bea119843fb19c6caab834954)
![{\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9414fbe11099d281205ca2a2f051f405c2d348c)