常微分方程/线性方程

线性方程与线性算子

一般线性方程的形式为

$P_{0}(x)y^{(n)}+P_{1}(x)y^{(n-1)}+...+P_{n}y=Q(x)$,

其中，我们将假设系数函数 $P_{i}(x)$ 和 Q(x) 在区间 [a,b] 上是连续函数，并且 $P_{0}(x)\neq 0$ 对于所有 $x\in [a,b]$。存在定理证明，存在一个唯一的解，它经过点 $(x_{0},y_{0})$ 其中 $x\in [a,b]$，具有直到 n-1 阶的连续导数，并在 $x_{0}$ 满足每个导数的初始条件。

也可以写成

$L(y)=(P_{0}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}+P_{1}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}+...+P_{n})y=Q(x)$

其中 L 称为 **n 阶线性微分算子**。

形式为 L(y)=0 的微分方程，与上面的线性微分算子相同，被称为上面方程的 *齐次方程* 和上面方程的 *降阶方程*。

现在我们将证明关于线性微分算子的某些性质。

线性微分算子

$L(C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2})=C_{1}L(y_{1})+C_{2}L(y_{2})$ 这是因为微分是线性的。因此，我们可以得出以下两个结论

• 如果 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是齐次方程的两个解，那么 $C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$ 也是一个解。
• 如果 y 是齐次方程 L(y)=0 的解，并且 $y_{0}$ 是方程 L(y)=Q(x) 的解，那么 $y+y_{0}$ 也是方程 L(y)=Q(x) 的解。

朗斯基行列式

设 L(y)=0 是 n 次齐次方程，并设 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 是该方程的线性无关解。

则一般解为 $y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+...+C_{n}y_{n}$.

假设解不是线性无关的。那么存在 $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ 不全为零的值，使得 $C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+...+C_{n}y_{n}$=0。

那么以下方程也成立

$C_{1}y_{1}'+C_{2}y_{2}'+...+C_{n}y_{n}'=0$
$C_{1}y_{1}''+C_{2}y_{2}''+...+C_{n}y_{n}''=0$
...
$C_{1}y_{1}^{(n-1)}+C_{2}y_{2}^{(n-1)}+...+C_{n}y_{n}^{(n-1)}=0$

当此齐次线性方程组有非平凡解时，对应于每个系数的列向量线性相关。这等价于说以下行列式，称为 **朗斯基行列式** 为 0

${\begin{Vmatrix}y_{1}&y_{2}&...&y_{n}\\y_{1}'&y_{2}'&...&y_{n}'\\y_{1}''&y_{2}''&...&y_{n}''\\...&...&...&...\\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&...&y_{n}^{(n-1)}\\\end{Vmatrix}}=0$

因此，如果解是相关的，那么它们的朗斯基行列式等于 0，反之亦然，反之，如果朗斯基行列式等于 0，那么该矩阵的列必须线性相关，表明解是线性相关的。