常微分方程/线性系统

微分方程组是由两个或多个微分方程组成的集合，每个ODE可能依赖于其他未知函数。

例如，考虑以下方程

${\begin{cases}x'(t)=2x(t)+y(t)\\y'(t)=3y(t)\end{cases}}$

在这种情况下，$x'(t)$ 的微分方程依赖于 $x(t)$ 和 $y(t)$ 。原则上，我们也可以允许 $y'(t)$ 依赖于 $x$ 和 $y$ ，但这不是必需的。

请注意，在某些情况下，我们找到了ODE系统的一个解。例如，在上面的例子中，因为 $y'$ 不依赖于 $x$ ，我们可以解第二个方程（通过分离变量或使用积分因子）得到 $y=C_{2}e^{3t}$ 。由于当我们解决第一个ODE时会存在第二个常数，因此我们选择在此处将常数称为 $C_{2}$ 。现在，我们可以将其代入第一个方程，得到：$x'=2x+C_{2}e^{3t}$ 。我们可以使用积分因子来解这个方程，得到

${\begin{cases}x(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{3t}\\y(t)=C_{2}e^{3t}\end{cases}}$

在其他情况下，巧妙的变量变化允许分离两个ODE。考虑以下系统

${\begin{cases}x_{1}'(t)=4x_{1}(t)+2x_{2}(t)\\x_{2}'(t)=2x_{1}(t)+4x_{2}(t)\end{cases}}$

.

如果我们令$y_{1}=x_{1}+x_{2}$ 和 $y_{2}=x_{1}-x_{2}$。然后我们发现

${\begin{cases}y_{1}'(t)=6y_{1}(t)\\y_{2}'(t)=2y_{2}(t)\end{cases}}$

并且每个方程都很容易求解：$y_{1}=C_{1}e^{6t}$ 和 $y_{2}=C_{2}e^{2t}$。因此，我们发现 $x_{1}=C_{1}e^{6t}+C_{2}e^{2t}$ 和 $x_{1}=C_{1}e^{6t}-C_{2}e^{2t}$。事实证明，对于系统使用向量和矩阵进行运算会很有帮助，因此，如果我们引入$\textstyle {\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}.$。那么上述系统可以改写为

${\frac {d}{dt}}{\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}}{\vec {x}}(t).$

并且我们有解${\vec {x}}_{1}(t)=C_{1}e^{6t}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ 和 ${\vec {x}}_{2}(t)=C_{2}e^{2t}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

注意我们找到的解的形式为$e^{\lambda t}{\vec {\xi }}$，其中${\vec {\xi }}$ 是某个常数向量。以此为出发点，我们将研究以下问题：何时${\vec {x}}(t)=e^{\lambda t}{\vec {\xi }}$ 能解该系统？

${\frac {d}{dt}}{\vec {x}}(t)=A{\vec {x}}(t).$

其中$A$ 是某个常数矩阵。

通过代入方程，我们发现

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}(e^{\lambda t}{\vec {\xi }})&=A(e^{\lambda t}{\vec {\xi }})\\\lambda e^{\lambda t}{\vec {\xi }}&=e^{\lambda t}A{\vec {\xi }}\\e^{\lambda t}(A-\lambda I){\vec {\xi }}&={\vec {0}}.\end{aligned}}$

由于$e^{\lambda t}\neq 0$，左侧等于${\vec {0}}$ 的唯一方法是$\lambda$ 是一个特征值，而${\vec {\xi }}$ 是对应的特征向量。

但这并不是故事的结尾。当矩阵为实数时，我们将考虑以下几种情况