常微分方程/局部线性

我们将研究自治系统 $$\mathrm {x} '=\mathrm {f} (\mathrm {x} ),$$ 其中 $\mathrm {f}$ 的分量是 $C^{1}$ 函数，以便我们能够对它们进行一阶泰勒展开。形式为 $$\mathrm {x} '=\mathrm {A} \mathrm {x} +\mathrm {g} (\mathrm {x} )$$ 的系统称为 $\mathrm {x} _{0}$ 附近 **局部线性** 的 $\mathrm {f}$ 临界点，如果 $${\frac {\left\|\mathrm {g} (\mathrm {x} )\right\|}{\left\|\mathrm {x} -\mathrm {x} _{0}\right\|}}\to 0{\text{ as }}\mathrm {x} \to \mathrm {x} _{0}.$$

展示方法的示例

我们研究阻尼振荡摆系统：$${\frac {dx}{dt}}=y,\,{\frac {dy}{dt}}=-\gamma y-\omega ^{2}\sin(x),$$ 其中 $\gamma$ 称为阻尼常数，正如在弹簧问题中一样，它负责消除能量。

1. 首先我们找到临界点。从上一节我们有：$$(k\pi ,0){\text{ for any integer }}k.$$
2. 其次，我们对系统 $\mathrm {F} (x,y):={\bigl (}{\begin{smallmatrix}y\\\\-\gamma y-\omega ^{2}\sin(x)\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ 右侧在任意临界点 $(x_{0},y_{0})$ 附近进行泰勒展开：$${\begin{aligned}\mathrm {F} (x,y)&=\mathrm {F} (x_{0},y_{0})+\mathrm {J} _{\mathrm {F} }(x_{0},y_{0}){\binom {x-x_{0}}{y-y_{0}}}+o(\left\|(x-x_{0},y-y_{0})\right\|)\\&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\&\\-\omega ^{2}\cos(x_{0})&-\gamma \end{smallmatrix}}{\bigr )}{\binom {x-x_{0}}{y-y_{0}}}+o(\left\|(x-x_{0},y-y_{0})\right\|).\end{aligned}}$$
3. 这里 $\mathrm {J} _{\mathrm {F} }(x_{0},y_{0})$ 是雅可比矩阵在 $(x_{0},y_{0})$ 处的，对于函数 $\mathrm {F} (x,y)={\binom {\mathrm {F} _{1}(x,y)}{\mathrm {F} _{2}(x,y)}}$，定义为：$${\begin{aligned}J_{\mathrm {F} }(x_{0},y_{0}):={\bigl (}{\begin{smallmatrix}{\frac {\mathrm {d} \mathrm {F} _{1}}{\mathrm {d} x}}(x_{0},y_{0})&{\frac {\mathrm {d} \mathrm {F} _{1}}{\mathrm {d} y}}(x_{0},y_{0})\\&\\{\frac {\mathrm {d} \mathrm {F} _{2}}{\mathrm {d} x}}(x_{0},y_{0})&{\frac {\mathrm {d} \mathrm {F} _{2}}{\mathrm {d} y}}(x_{0},y_{0})\end{smallmatrix}}{\bigr )}\end{aligned}}$$
4. 在 $(x_{0},y_{0})=(k\pi ,0)$ 处的线性化，对于偶整数 $k$ 是：$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {x}{y}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\&\\-\omega ^{2}&-\gamma \end{smallmatrix}}{\bigr )}{\binom {x-k\pi }{y}}+o(\left\|(x-k\pi ,y)\right\|).$$
5. 该矩阵的特征值为：$$\lambda _{1},\,\lambda _{2}={\frac {-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-4\omega ^{2}}}}{2}}.$$
6. 如果$\gamma ^{2}-4\omega ^{2}>0$，则特征值为实数，互异且为负。因此，临界点将是稳定节点。我们观察到，每个偶数整数临界点的吸引盆地是良好分离的。
7. 如果$\gamma ^{2}-4\omega ^{2}=0$，则特征值是重复的，实的且为负。因此，临界点将是稳定节点。
8. 如果$\gamma ^{2}-4\omega ^{2}<0$，则特征值为复数，实部为负。因此，临界点将是稳定的螺旋沉点。
9. 围绕$(x_{0},y_{0})=(k\pi ,0)$的线性化，对于奇数整数$k$为：$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {x}{y}}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\&\\\omega ^{2}&-\gamma \end{smallmatrix}}{\bigr )}{\binom {x-k\pi }{y}}+o(\left\|(x-k\cdot \pi ,y)\right\|).$$
10. 该矩阵的特征值为：$$\lambda _{1},\,\lambda _{2}={\frac {-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}+4\omega ^{2}}}}{2}}.$$
11. 因此，它有一个负特征值$\lambda _{1}<0$和一个正特征值$\lambda _{2}>0$，因此临界点将是不稳定的鞍点。