常微分方程/解的最大定义域

即使微分方程满足皮卡-林德洛夫定理，它可能仍然没有一个解对所有 $\mathbb {R}$ 都是由单个初始条件唯一确定的。在这里，我们研究解可以扩展到的最大区间。

区间上解的唯一性

定理局部唯一性意味着区间上的全局唯一性

假设

y 是 IVP 的解
y 是局部唯一的（例如，通过皮卡-林德洛夫定理）
y 的定义域是一个区间（包含 $x_{0}$ ，否则初始条件没有意义）

y(x) 是该 IVP 的唯一解，其定义域为该区间。

最大解

定义

定义最大解和解的最大定义域

最大解 $y_{max}$ 是一个局部唯一的 IVP 的解，满足

它的定义域是一个区间（包含 $x_{0}$ ，否则初始条件没有意义）
不是任何其他解的限制，其定义域是一个更大的区间

$Dom(y_{max})$ 称为解的最大定义域，记为 $]x_{-},x_{+}[$

唯一性

定理每个 IVP 都有一个唯一的最大解

定理如果存在一个解 $y_{\mathbb {R} }$ 其定义域为 $\mathbb {R}$ ，那么它就是最大解。

我们必须验证

$Dom(y_{\mathbb {R} })$ 是一个区间。显然成立。
$y_{\mathbb {R} }$ 不是任何其他解的限制。因为 $y_{\mathbb {R} }$ 的定义域已经是整个 $\mathbb {R}$ 。

边界处的行为

定理最大解在边界处的行为

假设

最大解的定义域小于无穷大 ( $x_{\pm }\neq \pm \infty$ )

在 $x_{\pm }$ 处，会发生以下情况之一或两者

有限时间内爆炸： $\lim _{x\to x_{\pm }}||y(x)||=\infty$
y 退出 F 的定义域： $\lim _{x\to x_{\pm }}\in {\overline {Dom(F)}}$

Dom(y) = R 的充分条件

定理最多线性增长意味着 $Dom(y)=\mathbb {R}$

假设

如果 $F$ 最多线性增长于 $y$ ，

\|F(x,y)\|\leq a\,\|y\|+b,

那么最大解的定义域就是整个 $\mathbb {R}$

例子

===\begin{cases} y'=y, \\ y(0)=1 \end{cases}===

例子 $y'=y,\,y(0)=1$ 有无穷多个解

F(x,y)=y，它在 x 和 y 都是 $C^{1}$ ，因此满足 Picard–Lindelöf 定理在其整个定义域，因此解在局部唯一。

以下所有都是该 IVP 的解

${\begin{aligned}y_{1}:\,&]-2,2[\,\to \,]e^{-2},e^{2}[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{2}:\,&]-1,3[\,\to \,]e^{-1},e^{3}[\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{\mathbb {R} }:\,&\mathbb {R} ,\to \,\mathbb {R} _{+}\\&x\mapsto e^{x}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}y_{3}:&Dom(y_{3})=]-1,1[\,\cup \,]2,4[\\&x\mapsto {\begin{cases}e^{x}&x\in ]-1,1[\\y(3)e^{(x-3)}&]2,4[\end{cases}}\end{aligned}}$ 不同的定义域意味着完全不同的解

函数是由有序对 {(x,f(x))} 组成的集合，其中 $x\in Dom(f)$ 。如果定义域不同，则集合完全不同，因此解也完全不同。

$y_{1}$ ， $y_{2}$ 和 $y_{\mathbb {R} }$ 是它们各自定义域上的唯一解

这是区间唯一性定理的结论，因为它们的定义域都是区间。

如果定义域不是区间，则通常没有唯一性

对于 $y_{3}$ 的固定定义域

$]-1,1[\,\cup \,]2,4[$

显然不是区间，那么对于我们选择的任何值 y(3)，我们都会得到不同的解。

因此，即使定义域是固定的，但不是区间，并且存在局部唯一性，也可能不存在全局唯一性。这就是我们限制自己于最大区间定义域的主要原因，即使可能存在具有非唯一解的更大定义域。

为了唯一确定解，仅知道在 0 处的初始值是不够的。我们还需要在 $]2,4[$ 上设置一个值，例如 y(3)。这是因为 0 处的初始条件与区间 $]2,4[$ 分离。我们需要在 $]2,4[$ 内部设置一个值，例如 y(3)，才能完全确定解。

$y_{\mathbb {R} }$ 是最大解 $y_{max}$

由于定义域是整个 $\mathbb {R}$ ，根据上述命题，它一定是最大解。

我们无需求解，就能直接看出 $Dom(y_{max})=\mathbb {R}$ ，因为 F 的增长是线性的，如亚线性增长定理所述。

我们还注意到，根据定义，任何定义域为区间的解，例如 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 都是 $y_{\mathbb {R} }$ 的限制。

在非区间上定义的解可能不是最大解 $y_{max}$ 的限制。

$y_{3}$ 不是 $y_{\mathbb {R} }$ 的限制，除非 $y(3)\neq e^{3}$ 。然而， $y_{3}$ 不是唯一的，在物理情况下是不可接受的，因为其定义域的两个区间之间不存在因果关系。因此，如果它不是 $y_{\mathbb {R} }$ 的限制，这不是什么大问题，因为 $y_{\mathbb {R} }$ 通常是“最佳”的解。