常微分方程/非齐次二阶方程：待定系数法

考虑一个形如

$$y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$$

显然，由于$g(t)\neq 0$，此方程是非齐次的。

因此，为了求解此方程，我们首先像往常一样进行，但假设方程是齐次的；暂时将$g(t)=0$。

然后解的第一个部分像$$y(t)=c_{1}e^{r_{1}t}+c_{2}e^{r_{2}t}.$$。

现在我们需要找到特解。为此，进行适当的代换，该代换与$g(t)$ 是什么有关。例如，如果$g(t)=e^{2x}$，则进行代换$Ae^{2x}$。由于$y''$ 和 $y'$ 在这种情况下是 $y$ 的倍数，你将只得到一个关于 $A$ 的线性方程。然后将 $A$ 的值代入方程。

因此，解为.

y = 通解 + 特解

但是，你应该注意一个重要的注意事项。例如，在前面的示例中，如果通解中已经包含 $e^{2x}$，则代换不能为 $Ae^{2x}$，因为特解不能等于通解。在这种情况下，你需要将代换设为 $Axe^{2x}$。

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$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {2dy}{dx}}+2y=4+e^{-2x}$$
已知
$$y(0)=4,y'(0)=-1$$

解

令 $y=e^{mx}$。则

$$(d^{2}y)/(dx^{2})+2dy/dx+2y\rightarrow (m+1)^{2}+1=0\rightarrow m+1=\pm i\rightarrow m=-1\pm i$$

因此，方程的一般形式变为

$$y=e^{-x}\left(P\cos {x}+Q\sin {x}\right)$$ 现在，需要找到特解。为此，我们考虑 RHS: $4+{2e}^{-2x}$。则替换变为 $A+Be^{-2x}$。然后 $y^{\prime }=-2Be^{-2x}$ 以及 $y^{\prime \prime }=4Be^{-2x}$。则方程简化为 $4B-4B+2\left(A+Be^{-2x}\right)=4+2e^{-2x}\rightarrow 2A+2Be^{-2x}=4+2e^{-2x}$。因此 $A=2,B=1$。现在方程为

$$y=e^{-x}\left(P\cos {x}+Q\sin {x}\right)+2+e^{-2x}$$

$y\left(0\right)=4.$ 然后 $4=P+2+1\rightarrow P=1.$
$y^{\prime }\left(0\right)=-1$。然后 $$-e^{-x}\left(P\cos {x}+Q\sin {x}\right)+e^{-x}\left(Q\cos {x}-P\sin {x}\right)-2e^{-2x}=-1=>\ Q-P-2=-1\rightarrow Q-P=1\rightarrow Q=2.$$

因此最终方程为 $$y=e^{-x}\left(\cos {x}+2\sin {x}\right)+2+e^{-2x}$$