常微分方程/皮亚诺定理

在本节中，我们放弃了对 Lipschitz 连续性的要求。实际上，在这种情况下，我们仍然可以得到解的存在性，尽管唯一性不再保证。甚至可以很容易地构造出一些例子，其中 $f$ 不满足 Lipschitz 连续性，并且唯一性不再保证。另一方面，仍然有可能 $f$ 不满足 Lipschitz 连续性，但同时唯一性仍然保证。

定理（皮亚诺定理）:

令 $I=[a,b]$ 为实数区间，令 $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 为子集，并令 $f:I\times D\to \mathbb {R} ^{n}$ 为连续函数。假设 $(t_{0},x_{0})\in I\times D$ 并且 $C>0$ 和 $T>0$ 是给定的，使得 $[t_{0}-T,t_{0}+T]\times B_{C}(x_{0})\subseteq I\times D$。那么这个系统

${\begin{cases}x(t_{0})=x_{0}&\\x'(t)=f(t,x(t))&t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]\end{cases}}$

至少有一个解 $x$，其中 $\gamma$ 小于或等于 $\min\{T,C/M\}$，其中 $M:=\max _{(t,x)\in [t_{0}-T,t_{0}+T]\times B_{C}(x_{0})}~|f(t,x)|$。

证明:

我们的目标是将此定理的证明简化为对 Arzelà–Ascoli 定理的应用，我们在开头（定理 2.3）证明了该定理的一个版本（没有使用选择公理）。因此，我们首先定义一组函数，它们是均匀有界的并且等度连续的，然后从该集合中选择一个合适的序列，并使用 Arzelà–Ascoli 定理来证明收敛子序列的存在性。这个子序列的极限将是我们想要的函数，我们将证明这一点；我们将证明所有要求的性质。

对于每个 $r\in (0,\gamma )$，我们定义 $x_{r}:[t_{0}-r,t_{0}+T]$ 如下：我们设定

$x_{r}(t):={\begin{cases}x_{0}&t\in [t_{0}-r,t_{0}]\\x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,x_{r}(s-r))ds&t\geq t_{0}\end{cases}}$;

这个公式以归纳法定义 $x_{r}$ 在整个 $[t_{0}-r,t_{0}+T]$ 上，因为如果我们知道 $x_{r}$ 在区间 $[t_{0}-r,t_{0}+kr]$ 上的值，我们可以用这些信息来计算 $x_{r}$ 在区间 $[t_{0}-r,t_{0}+(k+1)r]$ 上的值。此外，我们也可以通过对 $k$ 的归纳证明，实际上， $x_{r}(t)$ 被包含在 $B_{C}(x_{0})$ 内，当 $t\in [t_{0}-r,t_{0}+kr]$；我们需要这个结果来确保积分公式在第一步就能够被有效地使用。

我们通过以下步骤进行：假设该结论对于某个 $k$ 成立，并设 $t\in [t_{0}-r,t_{0}+(k+1)r]$。那么

${\begin{aligned}\left\|x_{0}-x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,x_{r}(s-r))ds\right\|&\leq \int _{t_{0}}^{t}\|f(s,x_{r}(s-r))\|dr\\&\leq \int _{t_{0}}^{t}Mdr\\&\leq M\cdot C/M=C.\end{aligned}}$

接下来，我们将 $x_{r}$ 扩展到 $[t_{0}-\gamma ,t_{0}]$，如下所示：

$x_{r}(t):={\begin{cases}x_{0}&t\in [t_{0}-r,t_{0}]\\x_{0}+\int _{t}^{t_{0}}f(s,x_{r}(s+r))ds&t\geq t_{0}.\end{cases}}$

这是一个对“旧”$x_{r}$ 的连续扩展，因为函数的旧部分和新部分都是连续的，并且在整个 $[t_{0}-r,t_{0}]$ 上重合。在这种情况下，关于良定义性的相同论据适用，我们得到相同对 $\|x_{0}-x_{r}(t)\|$ 的估计，因此在整个 $[t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]$ 上成立。因此，根据三角不等式，我们得到以下一致有界性：

$\|x_{r}\|_{\infty }\leq \|x_{r}-x_{0}\|_{\infty }+\|x_{0}\|_{\infty }$,

我们在此确定了 $x_{0}$，它是一个向量值常数函数，在 $[t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]$ 上始终为 $x_{0}$。

现在我们证明等度连续性。设 $|t_{1}-t_{2}|\leq \delta$，其中 $\delta$ 将在后面指定。需要考虑三种情况：

1. $t_{1},t_{2}\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}]$
2. $t_{1}\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}]$，$t_{2}\in [t_{0},t_{0}+\gamma ]$
3. $t_{1},t_{2}\in [t_{0},t_{0}+\gamma ]$

我们只做前两种情况，第三种情况类似。

情况 1

在这种情况下，

${\begin{aligned}\left\|x(t_{1})-x(t_{2})\right\|&\leq \int _{t_{1}}^{t_{2}}\|f(s,x_{r}(s+r))\|ds\\&\leq |t_{2}-t_{1}|M.\end{aligned}}$

因此，选择

$\delta \leq 1/M\epsilon$

足以得到 $\left\|x(t_{1})-x(t_{2})\right\|\leq \epsilon$。

情况 2

在这种情况下，

${\begin{aligned}\left\|x(t_{1})-x(t_{2})\right\|&\leq \left\|\int _{t_{1}}^{t_{0}}f(s,x_{r}(s+r))ds\right\|+\left\|\int _{t_{0}}^{t_{2}}f(s,x_{r}(s-r))ds\right\|\\&\leq \int _{t_{1}}^{t_{2}}(\|f(s,x_{r}(s+r))\|+\|f(s,x_{r}(s-r))\|)ds\\&\leq |t_{2}-t_{1}|2M,\end{aligned}}$

其中，我们用 0 替换了 $f(s,x_{r}(s+r))$ 或者 $f(s,x_{r}(s-r))$ 在未定义的地方。因此，我们选择

$\delta \leq 1/(2M)\epsilon$

足以得到 $\left\|x(t_{1})-x(t_{2})\right\|\leq \epsilon$。

因此，我们得到了等度连续性。现在我们需要应用 Arzelá–Ascoli 定理。为此，我们定义

$r_{n}:={\frac {1}{n+N}}$,

其中 $N$ 足够大，使得对于所有 $n\in \mathbb {N}$ 有 $r_{n}\in (0,\gamma )$。然后，Arzelá–Ascoli 定理指出，存在一个序列 $x_{r_{n}}$ 的子序列，该子序列一致收敛到某个极限函数 $x(t)$（因此，该极限函数必须是连续的，因为一致收敛保留了连续性）。将此序列称为 $y_{k}\to x$。对于所有 $t\in [t_{0},t_{0}+\gamma ]$，我们得到方程

$y_{k}(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f\left(s,y_{k}\left(s-{\frac {1}{n_{k}+N}}\right)\right)ds$

如果我们对极限 $k\to \infty$ 进行运算，我们将得到 $x$ 在 $[t_{0},t_{0}+\gamma ]$ 上解决了该问题。事实上，这是由 $y_{k}\left(s-{\frac {1}{n_{k}+N}}\right)\to x(s)$ 一致收敛和定理 2.5 推导出的，因为一致收敛允许我们将极限和积分互换。以同样的方式，我们得到 $x$ 在 $[t_{0}-\gamma ,t_{0}]$ 上解决了该问题，因此我们确实在 $[t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]$ 上构造了一个解。$\Box$