常微分方程/Riccati

Riccati 方程

${dy \over dx}+f(x)y^{2}+g(x)y+h(x)=0$

与之前的微分方程不同，因为一般来说，其解不能用初等积分表示。

但是，当已知一个特解时，我们可以从中得到通解。

设$y_{1}(x)$ 为一个特解，并设$y(x)=y_{1}+z$

使得方程变为

${dy_{1} \over dx}+{dz \over dx}+f(x)(y_{1}^{2}+2y_{1}z+z^{2})+g(x)(y_{1}+z)+h(x)$
$={dz \over dx}+(2y_{1}f(x)+g(x))z+f(x)z^{2}=0$

这是一个伯努利方程。