常微分方程/可分离变量 2

一阶微分方程

可分离变量：现实世界的例子

此页面提供了一些在周围世界中找到简单的可分离变量微分方程的例子。

加速度、速度和位置

微分方程的经典现实世界例子是加速度、速度和位置之间的关系。

$a(t)=v'(t)=x''(t)\,$

因此，如果你给出一个加速度方程，你就可以算出速度和位置。

示例 1 - 恒定加速度

假设加速度是一个常数 g（重力加速度，约为 10 m s^-2。t=0 时的初始速度为 v₀。初始位置为 x₀。求解 v 和 x。

首先，你需要求解 v。I.w.r.t.x。

$v'=a=g\,$

$\int v'dv=\int gdt\,$

$v=gt+C\,$

现在代入求解 C。

$v_{0}=g\times 0+C\,$

$C=v_{0}\,$

$v(t)=gt+v_{0}\,$

现在我们求解 x。

$x'=v=gt+v_{0}\,$

$\int x'dt=\int (gt+v_{0})dt$

$x={\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+C$

再次，现在我们求解 C。

$x_{0}={\frac {1}{2}}g\times 0^{2}+v_{0}\times 0+C$

$x_{0}=C\,$

$x(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+x_{0}$

任何学习过物理的人都会认识到这是物体在一维空间中受到恒定力时的基本位置方程。

示例 2 - 抗性介质

假设我们正在通过一种抵抗运动的介质移动。在这个介质中，$a=-v^{2}$。求解v和x，已知初始速度为 10 m/s，初始位移为 0 m。

$a=v'=-v^{2}\,$

${\frac {dv}{dt}}=-v^{2}$

$\int {\frac {1}{v^{2}}}dv=\int -1dt$

$-{\frac {1}{v}}=-t+C$

$v={\frac {1}{t+C}}$

注意，随着t的增加，速度会降低。这正是你预期介质抵抗你的运动并随着时间的推移减慢你的速度时的现象。现在将t=0时的初始速度代入

$10={\frac {1}{0+C}}$

$C={\frac {1}{10}}$

$v={\frac {1}{t+0.1}}$

现在求解x。

$v=x'={\frac {1}{t+0.1}}$

${\frac {dx}{dt}}={\frac {1}{t+0.1}}$

${\frac {dx}{1}}={\frac {dt}{t+0.1}}$

$\int 1dx=\int {\frac {1}{t+0.1}}dt$

$x=ln(t+0.1)+D\,$

位置在整个过程中都在增加，但随着时间的推移，增加的速度越来越慢。这再次是你对介质抵抗运动的预期。由于速度始终大于 0，我们不会停止前进，但随着时间的推移，我们前进的距离会呈指数级减少。代入我们的边界条件，

$0=ln(0+0.1)+D\,$

$D=-ln(0.1)\,$

$x=ln(t+0.1)-ln(0.1)=ln(10t+1)\,$

指数增长和衰减

科学中最常见的微分方程之一是

$y'=ky\,$.

该方程的解为

$y=Ce^{kt}\,$.

如果 *k* 为正，则称为指数增长。如果 *k* 为负，则称为指数衰减。两者在科学中都有应用，但原因截然不同。

人口增长

假设我们有一群野生动物。我们想知道 *t* 年后会有多少动物。我们知道现在有多少动物。我们还知道出生率和死亡率。我们能解决这个问题吗？

当然可以。首先，我们需要弄清楚增长率。如果出生率为 B，死亡率为 D，则总变化率为 (B-D)。由于这是增长率，我们需要将其乘以当前人口，才能得到人口增长。最终方程如下

$\Delta P=(B-D)P\,$

其中 P 代表人口。这看起来很像指数增长方程，不是吗？实际上，将“delta”更改为微分，它就是指数增长方程。增长因子为 (B-D)。

示例 3

在一个特定的兔子种群中，出生率为 10%。死亡率为 15%。初始种群为 100。10 年后有多少只兔子？我们始终会有兔子吗？

根据我们对指数方程的解

$P=Ce^{(B-D)t}\,$

$100=Ce^{(B-D)\times 0}=Ce^{0}\,$

$C=100\,$

$P=100e^{-0.05t}\,$

$P(10)=100e^{-0.5}\approx 61$

不幸的是，我们不会总是拥有兔子。由于增长率为负，它们最终将灭绝。（注意：我们永远不会真正达到 0，但现实生活中，你不可能少于 1 只兔子。如果我们测量的是连续属性而不是离散属性，那么我们将始终拥有某些东西，只是会变得非常小）。

放射性衰变

指数增长的另一种情况是放射性同位素。如果你有一个放射性物质样品，单个原子会随机衰变或不衰变。虽然你无法准确知道有多少原子在什么时候衰变，但你确实知道平均衰变率。每 λ 年，剩下的原子中有一半会衰变。这段时间 λ 称为半衰期。样品的 *活性*（每秒衰变的次数）称为 A。从数学上看，这就像

${\frac {dA}{dt}}=\lambda A$

这些问题看起来和上面的问题一样。就像兔子一样，我们最终也会耗尽放射性原子。