常微分方程/可分离方程：变量分离

定义

一个可分离ODE是以下形式的方程：

$x'(t)=g(t)f(x(t))$

对于一些函数 $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$. 在本章中，我们只关注 $n=1$ 的情况。

我们通常将此ODE写为

$x'=g(t)f(x)$

为了简洁，省略了 $x$ 的参数。

[注意，术语“可分离”来自于这样一个事实，即一类重要的微分方程具有以下形式：

$x'=h(t,x)$

对于一些 $h:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$; 因此，可分离ODE是这些方程中的一种，其中我们可以“分离” $h$ 为 $h(t,x)=g(t)f(x)$.]

解的非正式推导

使用莱布尼兹记号表示导数，我们得到可分离ODE解的非正式推导，这可以作为很好的助记符。

给定一个可分离ODE：

$x'=g(t)f(x)$

使用莱布尼兹记号，它变成：

${\frac {dx}{dt}}=g(t)f(x)$.

我们现在正式地将两边乘以 $dt$ 并将两边除以 $f(x)$，得到：

${\frac {dx}{f(x)}}=g(t)dt$.

对该方程进行积分得到

$\int {\frac {dx}{f(x)}}=\int g(t)dt$.

定义

$F(x):=\int {\frac {dx}{f(x)}}$;

这意味着 $F$ 是 ${\frac {1}{f(x)}}$ 的一个原函数。 如果 $F$ 可逆，则得到

$x=F^{-1}\left(\int g(t)dt\right)=F^{-1}\circ G$,

其中 $G$ 是 $g$ 的一个原函数；也就是说，$x(s)=F^{-1}(G(s))$，现在将变量 $x$ 重新代入记号中。

现在这个推导中的公式实际上没有任何意义；它只是一个形式推导。 但是在下面，我们将证明它实际上产生了正确的结果。

一般解

定理 2.1:

设一个可分离的一维常微分方程

$x'(t)=g(t)f(x(t))$

给出，其中 $f$ 从不为零。设 $F$ 是 $f$ 的一个反导数，$G$ 是 $g$ 的一个反导数。 如果 $F$ 可逆，则函数

$x(t):=F^{-1}(G(t))$

解决了正在考虑的常微分方程。

证明:

根据反函数法则和链式法则，

${\frac {d}{dt}}F^{-1}(G(t))={\frac {1}{\frac {1}{f(F^{-1}(G(t)))}}}G'(t)=f(F^{-1}(G(t)))g(t)$;

由于 $f$ 从不为零，上述涉及 $f$ 的分数是定义良好的。$\Box$