常微分方程/简谐运动

简谐运动可用于描述一个线性弹簧末端质量的运动，弹簧没有阻尼力或其他任何外部力作用在质量上。它最好被认为是振动弹簧的运动。

运动定律

一般有两个定律可以帮助描述弹簧末端质量的运动。

1. 胡克定律
2. 牛顿第二定律

胡克定律

为了演示胡克定律，我们将使用一个（无质量）弹簧悬挂在天花板上。天花板是坚固的，对弹簧的运动没有任何影响。

如果我们让弹簧保持不动，并且不连接任何质量，弹簧将保持在一个未拉伸的状态，总长度为$l$。现在，如果我们将任意质量（$m_{1}>0$）连接到弹簧的自由端，那么弹簧将从原始长度（$l$）伸展一个距离（$s$）。所以现在 ${\mbox{length}}_{\mbox{total}}=s+l$.

最终，质量将在这个新的总长度处静止，该位置被称为平衡位置。这个位置是许多计算中将 $x=0$ 作为参考的位置。

这就是胡克定律起作用的地方。当弹簧伸展时，当质量连接时，一个力作用在质量上，该力的方向是原始未拉伸位置的方向。这个力可以用以下方程表示：${\vec {F}}={\vec {k}}s$。其中 ${\vec {F}}$ 是弹簧作用在质量上的力，${\vec {k}}$ 是弹簧的比例常数，通常称为弹簧常数，$s$ 是弹簧从其未拉伸位置伸展的距离。

假设物体向下运动为正方向，向上运动为负方向。 如果您取物体的重量（${\vec {W}}$），它将等于弹簧在 $x=0$ 时施加的力，或平衡位置。 因此，我们现在知道 ${\vec {W}}={\vec {F}}$。 由于 ${\vec {W}}=m{\vec {g}}$ 和 ${\vec {F}}={\vec {k}}s$，通过代入，我们得到 $m{\vec {g}}={\vec {k}}s$。 如果您将这些设置为零，您将得到 $m{\vec {g}}-{\vec {k}}s=0$。

为什么 ${\vec {k}}s$ 为负？ 这是因为无论物体的运动如何，弹簧-重力组合始终会施加一个与其运动相反的力。 例如，当物体向下运动超过平衡点时，弹簧会将其向上拉，以试图恢复平衡。 当物体在平衡点上方时，弹簧的贡献较小，而净加速度则为向下，朝恢复平衡的方向。 它的行为就像在一个理想化的示例中，假设所有物体都远离任何局部重力效应，并且弹簧在完全无应力状态下交替拉伸和压缩。 一些示例使用了一个水平版本，其中物体在无摩擦的表面上滑动，以便更好地引入摩擦分量。

示例

示例 1

一个质量为 $1/4{\mbox{ slug}}$ 的物体连接到一个弹簧上，并将其拉伸了 $6{\mbox{ inches}}$。 计算弹簧的比例常数。

解决方案
使用组合方程 $mg-ks=0$，我们知道 $m=1/4{\mbox{ slug}}$ 和 $s=6{\mbox{ inches}}=1/2{\mbox{ ft}}$

（我们省略了向量，因为我们只寻找大小）

根据定义，我们知道 $g=32ft/s^{2}$

将所有内容代入，我们得到 $(1/4slug)(32ft/s^{2})-k(1/2ft)=0$.

解出 $k$，我们发现
$8{\mbox{ lb}}=k(1/2{\mbox{ ft}})$
$16{\mbox{ lb}}/{\mbox{ft}}=k$

示例 2

一个未知质量的物体将弹簧从天花板拉伸了10 厘米。弹簧的原始长度为 7 厘米。如果弹簧常数为 5 N/m，请计算物体的重量。

解决方案
首先，我们需要计算出质量连接后弹簧的拉伸距离。可以使用 ${\mbox{length}}_{\mbox{total}}=s+l$，其中 ${\mbox{length}}_{\mbox{total}}=10{\mbox{ cm}}=.1{\mbox{ m}}$ 以及 $l=7{\mbox{ cm}}=.07{\mbox{ m}}$。将所有内容代入并解出 $s$，我们发现 $s=.03{\mbox{ m}}$.

根据定义，我们知道 $W=mg$。有了它，以及 $mg-ks=0$，我们将所有内容代入并解出 $W$.

$W-(5{\mbox{ N}}/{\mbox{m}})(.03{\mbox{ m}})=0$
$W=.15{\mbox{ N}}=150{\mbox{ g}}$

牛顿第二运动定律

现在，假设我们有一个悬挂在弹簧上的另一个物体，弹簧连接在天花板上。然后将这个物体向下拉伸了一个距离 $x$，低于平衡点，然后释放。根据胡克定律，弹簧将被向上拉回，并在到达最高点后开始向下运动。

如果物体在没有外界影响的情况下继续运动，则称为自由运动。在运动过程中，有加速度作用在物体上使其保持运动。该加速度可以使用牛顿第二运动定律通过${\vec {F}}=m{\vec {a}}$找到。其中${\vec {F}}$是弹簧作用在物体$m$上的力，${\vec {a}}$是该物体由于作用在其上的力而产生的加速度。

从微积分我们知道$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$或$a={\ddot {x}}$。如果我们将这个代入胡克定律部分的方程式，我们会发现$m{\ddot {x}}-k(s+x)=0$。但是，由于此运动始终朝向弹簧力的方向，因此我们的方程式变为$m{\ddot {x}}+k(s+x)=mg$。展开此式，并求解$m{\ddot {x}}$，我们得到$m{\ddot {x}}=-k(s+x)+mg=-ks-kx+mg$。知道$mg-ks=0$，我们可以简化我们的方程式，最终得到$m{\ddot {x}}=-kx$。

自由运动或简谐运动的微分方程

最后，如果我们将上面的方程式设为零，我们将得到以下结果

$m{\ddot {x}}+kx=0$

由于我们的最高阶导数系数应等于 1，因此我们除以质量得到

${\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0$

如果我们将$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$代入，我们将得到这个方程的最终形式

${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=0$

上述方程被称为简谐运动或自由运动。

初始条件

对于自由运动方程，通常需要两个信息来准确描述物体的运动。

1. 物体的起始位置。 $x_{2}$
2. 物体的起始运动方向和大小。 $v$

通常，一个信息不会单独存在。为了简化，我们将考虑平衡点以下的所有位移为 $x>0$，以上为 $x<0$。

向上运动时 $v<0$，向下运动时 $v>0$。

解决方案

将该方程乘以 ${\dot {x}}$，得到

$m{\ddot {x}}{\dot {x}}+kx{\dot {x}}=0$

第一项和第二项是精确导数，因此该方程可以积分得到以下关系

$m{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+k{\frac {x^{2}}{2}}=E$

该关系中的第一项称为物体的动能，第二项称为弹簧的势能。上述积分表示能量守恒定律。这也是一个一阶可分离微分方程。它可以改写为

${\frac {dx}{\sqrt {{\frac {2E}{m}}-{\frac {k}{m}}x^{2}}}}=\pm dt$

该关系的积分得到

$\arccos x{\sqrt {\frac {k}{2E}}}=\pm {\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\varphi$

或者，最终重新排列结果，代入$\omega ={\sqrt {k/m}}$，并解出$x$，我们得到

$x={\sqrt {\frac {2E}{k}}}\cos(\omega t+\varphi )$