常微分方程/微分方程的结构

微分方程都由某些组成部分组成，没有这些部分，它们就不是微分方程。在处理微分方程时，我们通常的目标是解微分方程。在这种情况下，解是指一个新的函数，其中所有导数都消失了。如果这不可能，我们会寻求数值解。

微分方程

微分方程最基本的第一种例子是我们已经从微积分中学到的。那就是

$y'(x)=f(x)$

在这种情况下，我们知道如何解出 y（消去导数），通过对 f 进行积分。所以我们知道

$y(x)=\int _{a}^{x}f(x)\,dx+c.$

回想微积分基本定理，$\int _{a}^{x}f(x)\,dx$ 是 f(x) 的任意一个反导数，对于任何 a 的选择。注意存在一个任意常数 c，因此我们得到一族解，每个 c 的选择对应一个解。在本书的学习中，我们通常会遇到初始值问题。这些问题要求我们找到一个通过某个初始点（x₀, y₀）的常微分方程的解，其中 x₀ 是自变量，y₀ 是因变量。为了找到哪个解通过该点，只需将 x₀ 代入 x 的表达式，将 y₀ 代入 y(x₀)。这使我们能够对通常是任意的 c 进行特定选择。

${\begin{aligned}y_{0}&=\int _{a}^{x_{0}}f(x)\,dx+c\\c&=y_{0}-\int _{a}^{x_{0}}f(x)\,dx\end{aligned}}$

如果我们将 c 的这个选择代入 y 的表达式，我们发现

${\begin{aligned}y(x)&=\int _{a}^{x}f(x)\,dx+y_{0}-\int _{a}^{x_{0}}f(x)\,dx\\&=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(x)\,dx\end{aligned}}$

注意，这实际上是微积分基本定理的陈述。

定义

一个 n 阶常微分方程是形如

$F(y^{(n)},y^{(n-1)},\ldots ,y,x)=0$

的方程，其中 F 是 n + 2 个变量的函数，对它的第一个变量不恒定。

注意，n 可以解释为导数的阶数，$y^{(n)}$ 是第一个变量，而它本身是 x 的函数。这个定义可能难以理解。举个例子，假设 F(t₁, t₂, t₃)=t₁-cos(t₃)t₂。那么 F(y',y,x)=0 就变成了

$y'-\cos(x)y=0\quad {\text{or}}\quad y'=\cos(x)y$.

因此，根据我们上面的定义，y′=cos(x)y 是一个一阶常微分方程。

一般来说，如果不对函数 F 施加一些限制，我们会遇到问题。例如，如果我们不要求 F 依赖于它的第一个变量，那么我们可以取一个像 F(t₁, t₂, t₃)=1-cos(t₃)t₂ 这样的函数，它独立于它的第一个变量。在这种情况下，F(y′, y, x) = 0 就变成了 1 − cos(x)y=0，它根本不涉及导数！把这个叫做一阶微分方程确实很奇怪。

我们从微积分中学到的常微分方程的一些具体例子是

${\frac {dy}{dx}}=x\,$

${\frac {dy}{dx}}=2\sin x^{2}.\,$

然而，它们也可能包含 y 对 x 的高阶导数。例如

$xy{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+y{\frac {dy}{dx}}+e^{3x}=0$

也是一个常微分方程。

微分方程的特征

微分方程的阶数是指方程中所涉及的最高阶导数的阶数。因此

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}-3y=27x^{2}$

是一个二阶微分方程，因为最高阶导数是二阶：d²y/dx²。

一个多项式微分方程的次数是指最高阶导数的幂次。

线性微分方程和非线性微分方程

微分方程可以分为两种主要类型：线性微分方程和非线性微分方程。

线性微分方程是比较简单的类型。一个偏微分方程或常微分方程，如果它的次数为 1 且没有更高次数，则被称为线性。因此，

$4{\frac {dy}{dx}}-3y=27x^{2}$

是一个线性微分方程。

非线性微分方程要复杂得多，它们是任何非线性的微分方程。例如，

$y^{2},\,\,\,{\sqrt {y}}\,\,\,\cos y$

$\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{2}=-7y$

${\sqrt {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}+y^{2}=x$

是非线性微分方程。

只有极少数非线性微分方程可以精确求解 - 大多数需要近似求解。

齐次微分方程

齐次微分方程是指仅包含y（包括 y 的导数）项的方程。方程中不应出现包含自变量的项。因此，

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-y=0$

是齐次的。如果还剩下一些东西，那么微分方程就是非齐次的，例如这个：

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-y=2x$

右边的非零常数也意味着一个非齐次微分方程 - 毕竟常数仍然是一个函数。

一般来说，如果一个微分方程可以写成

$a_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\ldots +a_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+a_{0}(x)y=0,$

其中a_n(x) 等是x 的函数，则它是齐次的。然而，如果它只能写成

$a_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\ldots +a_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+a_{0}(x)y=b(x),$

其中 *b*( *x*) 是 *x* 的函数，它是非齐次的。

微分方程的解

此微分方程的解是任何函数 *y*=*f*(*x*)，当将其代入上述方程时，满足该方程。

形式为

$f_{1}(x,y,C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n})=0$

其中 $C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n}$ 是任意常数被称为微分方程的积分解，如果所有函数 *y*=*f*(*x*) 都是积分解的解，当 $C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n}$ 被替换为任何值（可能存在限制）都是微分方程的解。最初，雅各布·伯努利在 1689 年使用了积分这个词，而欧拉在 1768 年使用了特解这个词。解这个词似乎最早出现在 1774 年由拉格朗日提出，并通过庞加莱，这个词已被确立。

第三种类型的解称为参数解，形式为

$x=x(t,C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n})$

和

$y=y(t,C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n})$

具有任意常数 $C_{1},C_{2},C_{3},...,C_{n}$，只要所有使第二个方程成为恒等式的函数 *y*=*f*(*x*) 也是微分方程的解。

人们试图定义通解（以前称为完全积分或完全积分方程，这是由于欧拉，这两个术语现在有不同的含义）为具有任意常数的积分解，而奇解为不包含在通解中的积分解。然而，这些定义被证明是矛盾的，因为可能存在一个通解，它排除了奇解，而另一个通解可能包含奇解。因此，奇解的概念是矛盾的，没有很好的方法来处理这些术语。

相反，我们将定义通解为包含微分方程所有解的积分解，而特解为微分方程的任何单个解或积分解。

在粗略意义上求解微分方程时，我们的目标是找到方法，将特定形式的方程直接求解为解，或者将其简化为更易于处理的形式。稍后，我们将以更一般的意义来求解微分方程。

初值问题是一个微分方程，加上解 $y=f(x)$ 也必须满足的初始条件

$y_{0}=f(x_{0})$

$y_{1}=f'(x_{0})$

$y_{2}=f''(x_{0})$

...

$y_{n}=f^{(n)}(x_{0})$

在特定$x_{0}$处。如果$x_{0}$不同，则称为具有边界条件的边值问题。

我们首先考虑方程$y'=f(x)$的简单情况。这可以通过以下定理轻松解决，你可能已经在微积分中证明了这个定理

与其他类型方程的关系

以下类型的方程通常不会在常微分方程的入门课程中遇到，但在这里列出是为了说明微分方程在各种问题中的作用。

可以构造方程，其中所求函数是积分的一部分。此类方程称为积分方程。微分方程中有一个定理指出，几乎任何微分方程都可以改写为积分方程。积分方程通常在掌握微分方程后才学习。在实践中，有时对应的积分方程可能比原始微分方程更容易求解。

还可以遇到包含导数和积分的方程。这些方程可能可以转换为纯微分方程或积分方程，也可能不能。

另一个相关领域是差分方程。这些方程涉及形成导数，其中分母不是无穷小量，而是有限大小的量。它们的求解方法与微分方程的求解方法类似。它们解法的一个主要区别是，在微分方程中指数函数所扮演的角色，通常被另一个可能为复数的值所取代。

包含差分项和微分项的方程在实践中并不常见。这些方程可能难以用封闭形式求解。

微分方程可以针对矩阵以及实数和复数进行构造。由于矩阵乘法通常不满足交换律，因此在求解这些方程时必须注意因子的顺序。

此外，分数阶微分方程，可能是常微分方程或偏微分方程，也有一些特殊之处，因此在掌握了更常见形式的方程后才进行研究。

分数阶微分方程在大多数教科书中很少提到，因此这里简要说明一下。典型的常微分方程涉及导数的整数幂，而分数阶微分方程涉及任何幂。这种类型的方程的研究时间几乎与其他类型的微分方程一样长，但除了半导数方程（涉及 +/- 1/2 的幂）之外，用封闭形式求解它们的方法尚不清楚。扩散方程的许多例子（物理和化学中常见的偏微分方程）可以用半导数方程重新构造，并立即求解。

这种类型的微分方程难以求解的原因之一是，潜在解的范围比其他地方遇到的范围大得多。整数阶导数要求函数可微：只有这种类型的函数才能成为典型微分方程的解。分数阶导数可以应用于完全不连续的函数和一些广义函数。用于识别这些不太为人所知的函数作为分数阶微分方程的解的方法尚未得到系统地开发。

存在性和唯一性定理

除了尝试求解新的微分方程之外，通常值得确定方程的解是否真的存在，以及如果存在，该解是否唯一。这些问题的答案将在后面证明的存在性和唯一性定理部分中给出。

由于大多数微分方程无法用封闭形式求解，因此数值解非常重要。虽然存在性定理对于初学者来说可能显得比较深奥，但它们在尝试进行数值解时非常重要：在实践中，在尝试计算解之前，知道解确实存在非常有用。

理解解存在和唯一的条件，通常可以提供有关解的定性信息。例如，关于唯一性的基本定理指出，对于每个初始条件，都存在一个唯一的解。这意味着两个解永远不会相交。如果相交，你可以将交点作为你的初始数据，唯一性定理意味着这些解是同一个函数。我们将在文本的第二部分中更多地讨论定性行为。