常微分方程/代换 1

一阶微分方程

正如我们在之前的示例中看到的，有时即使方程最初不是可分离的，它也可以分解成可分离的形式。另一种将不可分离方程转换为可分离方程的方法是使用**代换方法**。

一般代换过程

所有代换方法都使用相同的通用过程

1. 取方程的一个项，并用变量 *v* 替换它。关键是新变量必须涵盖变量 *y* 的所有实例。否则代换将无济于事。
2. 根据 *v* 和 ${\frac {dv}{dx}}$ 求解 ${\frac {dy}{dx}}$。为此，取方程 $v=f(x,y)$，其中 $f$ 是你替换的项，并求其导数。
   
3. 将 ${\frac {dv}{dx}}$ 代入并求解 *v*。
4. 将 *v* 代入被替换的原始项中，并求解 *y*。

常系数代换

假设我们有一个包含项 *ay* + *bx* + *c* 的方程，例如

${\frac {dy}{dx}}=G(ay+bx+c).$

其中 G 是一个函数。它不可分离。但我们有时可以通过将该项转换为函数 *v* 来解决这些方程，定义 *v*(*x,y*) 并找到 *v*’(*x,y,y’*)。

$v(x,y)=ay+bx+c\,$

关于 *v* 的导数的技巧是 *y* 也是 *x* 的函数。因此 *v* 的导数变为

${\frac {dv}{dx}}=a{\frac {dy}{dx}}+b$

在 maxima 中，它看起来像这样

(%i1) v:a*y(x)+b*x+c;

以及

(%i2) diff(v,x);

产生

(%o1) a*(dy/dx)+b

接下来，我们重新排列项并根据 *y*’(*x,v,v’*) 求解

${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\frac {dv}{dx}}-b}{a}}$

现在将 v 代回原始方程式， ${\frac {dy}{dx}}=G(ay+bx+c)$，并将其转换为 ${\frac {dv}{dx}}=f(v)$的形式。

${\frac {{\frac {dv}{dx}}-b}{a}}=G(v)$

${\frac {dv}{dx}}=aG(v)+b$

求解 v，即在两边积分

${\frac {dv}{dx}}=aG(v)+b$

${\frac {dv}{aG(v)+b}}=dx$

$\int {\frac {dv}{aG(v)+b}}=\int dx$

$\int {\frac {dv}{aG(v)+b}}=x+D$

一旦你有了 v(x)，将其代回 v(x) 的定义中即可得到 y(x)。

$y(x)={\frac {v(x)-c-bx}{a}}$

强烈建议不要死记硬背这个方程式，而是要记住解决问题的步骤。最终的方程式比较难懂，容易忘记，但是如果了解了步骤，就可以随时解决它。如果使用其他替换方法，也会有所帮助。

示例 1

${\frac {dy}{dx}}=(x+y+3)^{2}$

让我们用 v 替换被提升到幂的量。

$v=x+y+3\,$

现在让我们找到 v'。

${\frac {dv}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+1$

求解 y'

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dv}{dx}}-1$

代入 y 和 y'

${\frac {dv}{dx}}-1=v^{2}$

${\frac {dv}{dx}}=v^{2}+1$

现在我们使用在可分离变量中学习的方法来求解v。

${\frac {dv}{v^{2}+1}}=dx$

$\int {\frac {dv}{v^{2}+1}}=\int dx$

$\tan ^{-1}(v)=x+C\,$

$v=\tan(x+C)\,$

现在我们得到了v(x)，代入回去求解y(x)。

$y+x+3=\tan(x+C)\,$

$y=\tan(x+C)-x-3\,$

其他方法

这些并不是所有可能的替换方法，只是其中一些比较常用的方法。替换方法是一种简化复杂微分方程的通用方法。如果您遇到无法求解的微分方程，有时可以通过找到一个替换并代入来解决它。只要寻找可以简化方程的东西。请记住，在v和v'之间，您必须消除方程中的y。

示例 2

$2y{\frac {dy}{dx}}=y^{2}+x-1$

该方程不可分离，我们之前使用的方法都不能奏效。让我们使用v = y² + x − 1的自定义替换。求解v'

${\frac {dv}{dx}}=2y{\frac {dy}{dx}}+1$

$2y{\frac {dy}{dx}}={\frac {dv}{dx}}-1$

代入原始方程

${\frac {dv}{dx}}-1=v$

求解v

${\frac {dv}{v+1}}=dx$

$\int {\frac {dv}{v+1}}=\int dx$

$\ln(v+1)=x+C\,$

$v=Ce^{x}-1\,$

现在代入并得到y

$Ce^{x}-1=y^{2}+x-1\,$

$y^{2}=Ce^{x}-x\,$

使用这个替换之后就很简单了。记住这种方法，你将在更复杂的方程中使用它。