常微分方程/替换2

替换方法实际上适用于任何可以找到微分方程的地方。但是，很少有实例始终可以使用特定的替换方法。你通常会选择一个并根据需要将其代入。因此，我将给出一些可以使用替换方法的情况，尽管你以后可能会学到更好的方法。

参数方程

你需要它的一个场合是解决参数方程。假设我们给出了二维速度函数 - $v_{x}(t)$ 和 $v_{y}(t)$。如果我们想要解出 $y(x)$，你必须除以 ${\frac {v_{y}}{v_{x}}}$。这将变成 ${\frac {\frac {dv_{y}}{dx}}{\frac {dv_{x}}{dx}}}={\frac {dy}{dx}}$。当你这样做时，你经常（尽管并不总是）会有机会使用 ${\frac {y}{x}}$ 替换。

恒定速度

假设我们正在一条没有水流的河里以恒定速度 $v_{0}$ 游泳。我们开始以相对于岸边 $\theta$ 的角度游泳。解出 $y(x)$

我们需要做的第一件事是将速度分解为 x 和 y 分量。这相当简单。

$v_{x}=v_{0}cos(\theta )$

$v_{y}=v_{0}sin(\theta )$

使用简单的三角函数，我们可以去掉 theta。

$v_{x}=v_{0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

$v_{y}=v_{0}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

现在我们除以这两个来找到 ${\frac {dy}{dx}}$。

${\frac {dy}{dx}}={\frac {v_{0}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}{v_{0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}}={\frac {y}{x}}$

现在这个方程很容易用分离变量法求解。也可以用替换法求解。这是一个简单的例子，但可以变得更加复杂。

逆流运动

想象一下同一个游泳者。现在有一股速度为 r 的水流直线上游（正 y 方向）。这将如何改变我们的例子？

x 分量仍然相同。

${\frac {dx}{dt}}=v_{0}cos(\theta )={\frac {v_{0}x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

在 y 方向上，我们也有一个由于水流造成的项。

${\frac {dy}{dt}}=v_{0}sin(\theta )+r={\frac {v_{0}y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+r$

你可以通过将两个方程相除得到 ${\frac {dy}{dx}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}+{\frac {r{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{v_{0}x}}$

我们可以将 x 移到根号内，以简化方程

${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}+{\frac {r{\sqrt {{\frac {x^{2}}{x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}}{v_{0}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}+{\frac {r}{v_{0}}}{\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}$

嗯，这个复杂的方程看起来像一个需要 ${\frac {y}{x}}$ 替换的案例。

$v={\frac {y}{x}}$

$y=vx$

$y'=v+v'x$

$v+v'x=v+{\frac {r}{v_{0}}}{\sqrt {1+v^{2}}}$

$v'={\frac {r}{xv_{0}}}{\sqrt {1+v^{2}}}$

这是一个看起来很好，很容易解开的可分离方程。让我们来解它。

${\frac {dv}{\sqrt {1+v^{2}}}}={\frac {r}{xv_{0}}}$

$\int {\frac {dv}{\sqrt {1+v^{2}}}}=\int {\frac {r}{xv_{0}}}$

左边是一个比较复杂的积分。相信我就可以了。

$ln(v+{\sqrt {1+v^{2}}})={\frac {r}{v_{0}}}ln(x)+C$

$v+{\sqrt {1+v^{2}}}=e^{ln(x^{\frac {r}{v_{0}}})+C}$

$v+{\sqrt {1+v^{2}}}=Cx^{\frac {r}{v_{0}}}$

让我们试着去掉那个根号。将其分离出来，然后两边平方。

${\sqrt {1+v^{2}}}=Cx^{\frac {r}{v_{0}}}-v$

$1+v^{2}=Cx^{2{\frac {r}{v_{0}}}}-2vCx^{\frac {r}{v_{0}}}+v^{2}$

$2vCx^{\frac {r}{v_{0}}}=C^{2}x^{2{\frac {r}{v_{0}}}}-1$

$v={\frac {Cx^{\frac {r}{v_{0}}}}{2}}-{\frac {1}{2Cx^{\frac {r}{v_{0}}}}}$

代入v，我们得到

${\frac {y}{x}}={\frac {Cx^{\frac {r}{v_{0}}}}{2}}-{\frac {1}{2Cx^{\frac {r}{v_{0}}}}}$

我们可以通过乘以x来解出y

$y={\frac {Cx^{{\frac {r}{v_{0}}}+1}}{2}}-{\frac {x}{2Cx^{\frac {r}{v_{0}}}}}$

$y={\frac {C}{2}}x^{{\frac {r}{v_{0}}}+1}-{\frac {1}{2C}}x^{{\frac {-r}{v_{0}}}+1}$

这个复杂的方程是有意义的 - 电流越大，y 方向上的移动距离就越大，这是 x 的一部分。

如果你在现实生活中遇到过如此复杂的方程，建议你使用计算机程序来求解它。