常微分方程/逐次逼近

$y'=f(x,y)$ 有一个解$y$ 满足初始条件 $y(x_{0})=y_{0}$，则它必须满足以下积分方程

$y=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))dt$

现在我们将用逐次逼近法求解这个方程。

定义$y_{1}$ 为

$y_{1}=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{0})dt$

并定义$y_{n}$ 为

$y_{n}=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{n-1})dt$

现在我们将证明

1. 如果$f(x,y)$ 是有界的，且满足 Lipschitz 条件，则函数序列收敛于一个连续函数
2. 此函数满足微分方程
3. 这是此微分方程在给定初始条件下的唯一解。

证明

首先，我们证明 $y_{n}$ 位于盒子里，这意味着 $|y_{n}(x)-y_{0}|<{\frac {1}{2}}h$。我们通过归纳法来证明这一点。首先，很明显 $|y_{1}(x)-y_{0}|\leq {\frac {1}{2}}h$。现在假设 $|y_{n-1}(x)-y_{0}|\leq {\frac {1}{2}}h$。然后 $|f(t,y_{n-1}(t))|\leq M$，因此

$|y_{n}(x)-y_{0}|\leq \int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{n-1}(t))|dt\leq M(x-x_{0})\leq {\frac {1}{2}}Mw\leq {\frac {1}{2}}h$。这证明了当 $x_{0}<x$ 时的情况，而当 $x<x_{0}$ 时的情况的证明类似。

我们现在将通过归纳法证明 $|y_{n}(x)-y_{n-1}(x)|<{\frac {MK^{n-1}}{n!}}(x-x_{0})^{n}$。首先，很明显 $|y_{1}(x)-y_{0}|<M(x-x_{0})$。现在假设它对 n-1 成立。然后

$|y_{n}(x)-y_{n-1}(x)|\leq \int _{x_{0}}^{x}|f(t,y_{n-1}(t))-f(t,y_{n-2}(t))|dt<\int _{x_{0}}^{x}K|y_{n-1}(t)-y_{n-2}(t)|dt$，这是由于 Lipschitz 条件。

现在，

$|y_{n}(x)-y_{n-1}(x)|<{\frac {MK^{n-1}}{(n-1)!}}\int _{x_{0}}^{x}||u-x_{0}|^{n-1}du={\frac {MK^{n-1}}{n!}}|x-x_{0}|^{n}$.

因此，级数 $y_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(y_{n}(x)-y_{n-1}(x))$ 在 $|x-x_{0}|\leq {\frac {1}{2}}w$ 范围内是绝对且一致收敛的，因为它是小于指数函数的。

因此，极限函数 $y(x)=y_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(y_{n}(x)-y_{n-1}(x))=\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}(x)$ 存在，并且在 $|x-x_{0}|\leq {\frac {1}{2}}w$ 范围内是一个连续函数。

现在我们将证明这个极限函数满足微分方程。