常微分方程/皮卡-林德洛夫定理

在本节中，我们的目标是证明几个密切相关的结果，它们都被称为“皮卡-林德洛夫定理”。当需要论证满足某些边界条件的常微分方程的存在性和唯一性时，经常使用这种类型的结果。

局部结果

皮卡-林德洛夫定理（巴拿赫不动点定理版本）:

设 $I:=[a,b]$ 是一个区间，设 $f:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 是一个连续函数，且

x'(t)=f(t,x(t))

是相应的常微分方程。如果 $f$ 在第二个参数中是利普希茨连续的，那么这个常微分方程在 $[a,a+\epsilon ]$ 上具有唯一解，对于每个可能的初始值 $x(0)=x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ ，其中 $\epsilon <1/L$ ， $L$ 是 $f$ 第二个参数的利普希茨常数。

证明:

我们首先将问题重写为一个不动点问题。事实上，利用微积分基本定理，可以证明以下联立方程

{\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))&t\in [a,a+\epsilon ]\\x(0)=x_{0}&\end{cases}}

等价于单个方程

\forall t\in [a,a+\epsilon ]:x(t)=x_{0}+\int _{a}^{t}f(s,x(s))ds

,

其中 $\epsilon$ 将在稍后阶段确定。这意味着函数 $x(t)$ 是函数的固定点

T:{\mathcal {C}}([a,a+\epsilon ])\to {\mathcal {C}}([a,a+\epsilon ]),T(x)(t):=x_{0}+\int _{a}^{t}f(s,x(s))ds

.

现在 $T$ 满足如下 Lipschitz 条件

{\begin{aligned}\left\|T(x)(t)-T(y)(t)\right\|&=\left\|\int _{a}^{t}f(s,x(s))ds-\int _{a}^{t}f(s,y(s))ds\right\|\\&\leq \int _{a}^{t}\|f(s,x(s))-f(s,y(s))\|ds\\&\leq \int _{a}^{t}L\|x(s)-y(s)\|ds\\&\leq (t-a)L\|x-y\|_{\infty }\leq \epsilon L\|x-y\|_{\infty },\end{aligned}}

其中我们取了 ${\mathcal {C}}([a,a+\epsilon ])$ 上的范数为上确界范数。如果现在 $\epsilon <{\frac {1}{L}}$ ，那么 $T$ 是一个压缩映射，因此 Banach 不动点定理适用，为我们提供了存在性和唯一性。 $\Box$

用求和技巧代替不动点原理，我们得到了一个略微更好的结果，因为函数 $f$ 的定义域不必是整个 $[a,b]\times \mathbb {R} ^{n}$ 。

Picard–Lindelöf 定理（伸缩级数版本）:

令 $f:[a,b]\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ 为一个函数，该函数在第二参数上连续且满足 Lipschitz 条件，其中 $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ，并令 $(t_{0},x_{0})\in \mathbb {R} \times \Omega$ 具有性质 $[t_{0}-s,t_{0}+s]\times {\overline {B_{r}(x_{0})}}\subseteq [a,b]\times \Omega$ 对于某些 $s,r>0$ 。如果在这种情况下 $\gamma \leq \min\{s,r/M\}$ ，其中 $M:={\underset {(t,x)\in [t_{0}-s,t_{0}+s]\times B_{r}(x_{0})}{\sup \|f(t,x)\|}}$ ，则初始值问题

{\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t))&t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]\\x(t_{0})=x_{0}&\end{cases}}

具有唯一的解。

证明:

我们首先证明唯一性。为此，我们使用 Gronwall 不等式。假设 $x,y$ 都是该问题的解。那么

\left\|x(t)-y(t)\right\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(t,x(t))-f(t,y(t))dt\right\|\leq \int _{t_{0}}^{t}\left\|f(t,x(t))-f(t,y(t))\right\|dt\leq 0+\int _{t_{0}}^{t}L\left\|x(t)-y(t)\right\|dt

,

因此，根据 Gronwall 不等式

\left\|x(t)-y(t)\right\|\leq 0\cdot e^{\int _{t_{0}}^{t}Ldt}=0

对于 $t\in [t_{0},t_{0}+s]$ （右格朗沃不等式）和 $t\in [t_{0}-s,t_{0}]$ （左格朗沃不等式）。

现在谈谈存在性。我们再次用归纳法定义

x_{0}(t):=x_{0}

（常数函数），

x_{n+1}(t):=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x_{n}(\tau ))d\tau

.

由于 $f$ 不一定在比 $[t_{0}-s,t_{0}+s]\times B_{r}(x_{0})$ 更大的集合上定义，我们需要证明这个定义总是合理的，即 $f(t,x_{n}(t))$ 对于所有 $n$ 和 $t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]$ 是定义的，也就是说， $x_{n}(t)\in B_{r}(x_{0})$ 对于 $t\in [t_{0}-\gamma ,t_{0}+\gamma ]$ 。我们用归纳法证明这一点。