常微分方程/不含 x 或 y

不含 y 的方程

考虑如下形式的微分方程

$F(x,y')=0$.

如果我们能解出 y'，那么我们可以简单地对该方程进行积分，得到一个形式为 y=f(x) 的解。但是，有时解出 x 可能更容易。在这种情况下，我们得到

$x=f(y')$

然后对 y 求导，

${1 \over y'}={df \over dy'}{dy' \over dy}$

这使得它变成

$y=C+\int y'{df \over dy'}dy'$.

这两个方程

$x=f(y')$

和

$y=C+\int y'{df \over dy'}dy'$

是关于 y' 的参数解。为了获得显式解，我们在这两个方程之间消去 y'。

如果可能的话，表达

$F(x,y')=0$

参数化为$x=f(t),y'=g(t)$,

那么可以对第一个方程求导

${\frac {1}{y'}}{\frac {dy}{dt}}=f'(t)$

所以

$y=C+\int g(t)f'(t)dt$

得到关于 $t$ 的参数解。如果可能的话，消去 $t$，那么可以得到一个积分解。

不含 x 的方程

类似地，如果方程

$F(y,y')=0$.

可以解出 y，写成 y=f(y')。那么，通过与上面相同的过程得到的以下解是参数解

$y=f(y')$

$x=C+\int {\frac {f'(y')}{y'}}dy'$

此外，如果可以参数化 y 和 y'

$y=f(t),y'=g(t),$

那么参数解为

$y=f(t),$

$x=C+\int {\frac {f'(t)}{g(t)}}dt$

因此，如果参数 $t$ 可以被消去，那么就可以得到一个积分解。