常微分方程：速查表/一些有用的定义

两个函数的朗斯基行列式

定义

两个函数$y_{1},y_{2}$ 的朗斯基行列式 由下式给出

$W_{y_{1},y_{2}}(x)=\left|{\begin{matrix}y_{1}&&y_{2}\\y_{1}'&&y_{2}'\end{matrix}}\right|$

有用事实

• 如果两个函数$y_{1},y_{2}$ 在某个区间上线性相关，那么它们的朗斯基行列式在这个区间上为零。

拉普拉斯变换

定义

$f$ 在复数$s\in \mathbb {C}$ 处的拉普拉斯变换 是

${\mathcal {L}}\{f\}(s)=F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

性质

• 线性：${\mathcal {L}}\{af+bg\}=a{\mathcal {L}}\{f\}+b{\mathcal {L}}\{g\}\,$

如果$F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)$ 那么

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a)\,$ 其中 $s>\alpha +a$
• ${\mathcal {L}}\{f'\}(s)=sF(s)-f(0)$
• ${\mathcal {L}}\{f''\}(s)=s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)$

一些简单函数的拉普拉斯变换

• ${\mathcal {L}}\{1\}={1 \over s}$
• ${\mathcal {L}}\{e^{at}\}={1 \over s-a}$
• ${\mathcal {L}}\{\cos \omega t\}={s \over s^{2}+\omega ^{2}}$
• ${\mathcal {L}}\{\sin \omega t\}={\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$
• ${\mathcal {L}}\{1\}={1 \over s}$
• ${\mathcal {L}}\{t^{n}\}={n! \over s^{n+1}}$

卷积

定义

$f$ 和 $g$ 的 卷积 是

$f(t)*g(t)=\int _{0}^{t}f(u)g(t-u)dt$

性质

卷积 是

1. 结合性的
2. 交换性的
3. 对加法分配的