偏微分方程/傅里叶分析方法

1. 偶函数和奇函数的傅里叶级数

如果 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 被称为偶函数。

如果 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 被称为奇函数。

在图形上，偶函数关于 y 轴对称，而奇函数关于原点对称。

示例

x 的奇数幂之和是奇数：5x³- 3x

x 的偶数幂之和是偶数：-x⁶ + 4x⁴+ x²-3

sin x 是奇数，cos x 是偶数

两个奇函数的乘积是偶数：x sin x 是偶数

两个偶函数的乘积是偶数：x²cos x 是偶数

一个偶函数和一个奇函数的乘积是奇数：sin x cos x 是奇数

2. 在对称域上积分偶函数。

令 p > 0 为任意固定数。如果 f(x) 是奇函数，则

直觉：曲线在 [-p, 0] 上的面积与曲线在 [0, p] 上的面积相同，但符号相反。因此，它们相互抵消了！

令 p > 0 为任意固定数。如果 f(x) 是偶函数，则

直觉：曲线在 [-p, 0] 上的面积与曲线在 [0, p] 上的面积相同，但这次符号相同。因此，您只需找到曲线在 [0, p] 上的面积并将其加倍！

3. 周期函数

定义

如果存在一个数

T > 0 使得对于每个 x，f(x + T) = f(x)，则函数 f(x) 被称为周期函数。最小的此类

T 称为 f(x) 的周期。

直觉：周期函数具有重复的行为。周期函数可以在有限的区间上定义，

然后复制并粘贴，使其自身重复。

4. 函数 f(x) 的傅里叶级数

a(k) = f(x) cos kx dxb(k) = f(x) sin kx dx

5. 傅里叶级数的余项

Sn(x) = 前 n+1 项在 x 处的和。

余项(n) = f(x) - Sn(x) = f(x+t) Dn(t) dt

Sn(x) = f(x+t) Dn(t) dt

D_n(x) = 狄利克雷核 =

7. 黎曼定理

.

如果 f(x) 在每个有限区间内除了有限个有限跳跃外都是连续的，则

lim_(k->) f(t) cos kt dt = lim_{(k-> )} f(t) sin kt dt = 0

函数 f(x) 在任意区间内的傅里叶级数。

A(0) / 2 + (k=1..) [ A(k) cos (k(Π)x / m) + B(k) (sin k(Π)x / m) ]

a(k) = 1/m f(x) cos (k(Π)x / m) dx

b(k) = 1/m f(x) sin (k(Π)x / m) dx

8. 帕塞瓦尔定理

.

帕塞瓦尔定理通常指的是傅里叶变换是酉的这一结果，即函数的平方之和（或积分）等于其变换的平方之和（或积分）。

如果 f(x) 是连续的；f(-PI) = f(PI)，则

f²(x) dx = a(0)² / 2 + (k=1..) (a(k)² + b(k)²)

函数 f(x) 的傅里叶积分

f(x) = ( a(y) cos yx + b(y) sin yx ) dy

a(y) = f(t) cos ty dt

b(y) = f(t) sin ty dt

f(x) = dy f(t) cos (y(x-t)) dt

9. 傅里叶积分的特殊情况

如果 f(x) = f(-x)，则

f(x) = cos xy dy f(t) cos yt dt

如果 f(-x) = -f(x)，则

f(x) = sin xy dy sin yt dt

10. 傅里叶变换

傅里叶余弦变换

g(x) = () f(t) cos xt dt

傅里叶正弦变换

g(x) = () f(t) sin xt dt

11. 变换的恒等式

如果 f(-x) = f(x)，则

傅里叶余弦变换 ( 傅里叶余弦变换 (f(x)) ) = f(x)

如果 f(-x) = -f(x)，则

傅里叶正弦变换 ( 傅里叶正弦变换 (f(x)) ) = f(x)