偏微分方程/导论与第一个例子

什么是偏微分方程？

令 $d\in \mathbb {N}$ 为一个自然数，令 $B\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为任意集合。在 $B$ 上的偏微分方程看起来像这样

$\forall (x_{1},\ldots ,x_{d})\in B:h(x_{1},\ldots ,x_{d},u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\overbrace {\partial _{x_{1}}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\ldots ,\partial _{x_{d}}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\partial _{x_{1}}^{2}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\ldots } ^{{\text{任意数量的有限个偏导数， }}n{\text{ 个 }}h{\text{ 的输入}}})=0$

$h$ 是一个特定于偏微分方程的任意函数，它从 $\mathbb {R} ^{n}$ 到 $\mathbb {R}$，其中 $n\in \mathbb {N}$ 是一个自然数。在 $B$ 上的此偏微分方程的解是一个函数 $u:B\to \mathbb {R}$ 满足上述逻辑语句。一些偏微分方程的解描述了自然界中的过程；这是它们如此重要的原因之一。

多重指标

在整个偏微分方程理论中，多重指标极其重要。只有借助它们，我们才能更简洁地写下某些公式。

定义 1.1:

一个 $d$ 维度多重指标是一个向量 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，其中 $\mathbb {N} _{0}$ 是自然数和零。

如果 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d})$ 是一个多重指标，那么它的绝对值 $|\alpha |$ 定义为

$|\alpha |:=\sum _{k=1}^{d}\alpha _{k}$

如果 $\alpha$ 是一个 $d$ 维度多重指标，$B\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是一个任意集合，并且 $u:B\to \mathbb {R}$ 足够多次可微，我们定义 $\partial _{\alpha }u$，$\alpha$ 阶导数 of $u$，如下

$\partial _{\alpha }u:=\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{d}}^{\alpha _{d}}u$

偏微分方程的类型

我们将偏微分方程分类为几种类型，因为对于一种类型的偏微分方程，我们将需要与其他类型的微分方程不同的求解技术。我们将它们分类为线性方程和非线性方程，以及不同阶的方程。

定义 1.2:

一个线性偏微分方程是一个具有以下形式的方程

$\forall x\in B:\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }(x)\partial _{\alpha }u(x)=f(x)$

，其中只有有限多个 $a_{\alpha }$ 不是常数零函数。一个解的形式是一个函数 $u:B\to \mathbb {R}$。我们有 $B\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 对于任意 $d\in \mathbb {N}$，$f:B\to \mathbb {R}$ 是一个任意函数，公式中的和是对所有可能的 $d$ 维多重指标求和。如果 $f=0$，该方程被称为齐次。

如果一个偏微分方程不是线性偏微分方程，则它被称为非线性。

定义 1.3:

设 $n\in \mathbb {N}$。我们说一个偏微分方程具有$n$ 阶当且仅当 $n$ 是使得它具有如下形式的最小数字

$\forall (x_{1},\ldots ,x_{d})\in B\subseteq \mathbb {R} ^{d}:h(x_{1},\ldots ,x_{d},u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\overbrace {\partial _{x_{1}}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\ldots ,\partial _{x_{d}}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\partial _{x_{1}}^{2}u(x_{1},\ldots ,x_{d}),\ldots } ^{{\text{partial derivatives at most up to order }}n})=0$

偏微分方程的第一个例子

现在我们非常好奇偏微分方程在实际中到底是什么样子的。

定理和定义 1.4:

如果 $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是一个可微函数，并且 $c\in \mathbb {R}$，那么函数

$u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,u(t,x):=g(x+ct)$

满足一维齐次输运方程

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:\partial _{t}u(t,x)-c\partial _{x}u(t,x)=0$

证明：练习 2。

因此，我们看到一维输运方程有许多不同的解；对于每个连续可微函数都存在一个解。但是，如果我们要求解具有特定的初始状态，则解就变得唯一。

定理与定义 1.5:

如果 $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是一个可微函数，并且 $c\in \mathbb {R}$，那么函数

$u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,u(t,x):=g(x+ct)$

是一维齐次输运方程的初值问题的唯一解

${\begin{cases}\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:&\partial _{t}u(t,x)-c\partial _{x}u(t,x)=0\\\forall x\in \mathbb {R} :&u(0,x)=g(x)\end{cases}}$

证明:

显然 $\forall x\in \mathbb {R} :u(0,x)=g(x+c\cdot 0)=g(x)$。此外，定理 1.4 表明：

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:\partial _{t}u(t,x)-c\partial _{x}u(t,x)=0$

现在假设我们有另一个任意的初值问题的解。我们把它命名为 $v$。那么对于所有 $(t,x)\in \mathbb {R} ^{2}$，函数

$\mu _{(t,x)}(\xi ):=v(t-\xi ,x+c\xi )$

是常数

${\frac {d}{d\xi }}v(t-\xi ,x+c\xi )={\begin{pmatrix}\partial _{t}v(t-\xi ,x+c\xi )&\partial _{x}v(t-\xi ,x+c\xi )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1\\c\end{pmatrix}}=-\partial _{t}v(t-\xi ,x+c\xi )+c\partial _{x}v(t-\xi ,x+c\xi )=0$

因此，特别是

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:\mu _{(t,x)}(0)=\mu _{(t,x)}(t)$

, 这意味着，插入 $\mu _{(t,x)}$ 的定义，我们得到

$\forall (t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:v(t,x)=v(0,x+ct){\overset {\text{initial condition}}{=}}g(x+ct)$

, 这表明 $u=v$. 由于 $v$ 是一个任意的解，这表明解的唯一性。$\Box$

在下一章中，我们将考虑非齐次任意维度的输运方程。

练习

1. 看看常微分方程的定义（例如，参见维基百科关于常微分方程的页面），并证明每个常微分方程都是偏微分方程。
2. 使用直接计算证明定理 1.4。
3. 输运方程的阶数是多少？
4. 找到一个函数 $u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 使得 $\partial _{t}u-2\partial _{x}u=0$ 且 $\forall x\in \mathbb {R} :u(0,x)=x^{3}$.

来源

• Martin Brokate (2011/2012), Partielle Differentialgleichungen, Vorlesungsskript (PDF) (德语) {{citation}}: Check date values in: |year= (help)
• Daniel Matthes (2013/2014), Partial Differential Equations, lecture notes {{citation}}: Check date values in: |year= (help)