偏微分方程/索伯列夫空间

有些偏微分方程没有解。然而，其中一些方程有类似“几乎是解”的东西，我们称之为弱解。在这些方程中，有些偏微分方程的弱解可以模拟自然过程，就像有解的偏微分方程的解一样。

这些弱解将是所谓的索伯列夫空间中的元素。通过证明索伯列夫空间中的元素一般具有的性质，我们将因此获得偏微分方程弱解的性质，因此也是某些自然过程的性质。

在本章中，我们展示了索伯列夫空间元素的一些性质。此外，我们将证明索伯列夫空间是巴拿赫空间（这将帮助我们在下一节中研究弱解的存在性和唯一性）。

变分法的基本引理

但首先，我们将重复第 3 章中定义的标准平滑函数的定义。

例 3.4: 标准平滑函数 $\eta$，定义为

$\eta :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta (x)={\frac {1}{c}}{\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}&{\text{ if }}\|x\|_{2}<1\\0&{\text{ if }}\|x\|_{2}\geq 1\end{cases}}$

, 其中 $c:=\int _{B_{1}(0)}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}dx$，是一个撞击函数（见练习 3.2）。

定义 3.13:

对于 $R\in \mathbb {R} _{>0}$，我们定义

$\eta _{R}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta _{R}(x)=\eta \left({\frac {x}{R}}\right){\big /}R^{d}$.

引理 12.1:（将由特征函数版本替换）

令 $g\in L^{p}$ 是一个 简单函数，即

$g=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\chi _{I_{j}}$,

其中 $I_{j}$ 是区间，而 $\chi$ 是 指示函数。如果

$\epsilon <1/2{\text{diam}}(I_{j})$,

那么 $\|g*\eta _{\epsilon }-g\|_{p}\leq 2\epsilon \max _{k\in \{1,\ldots ,n\}}b_{k}$.

以下引理对于关于 Sobolev 空间的一些定理非常重要，被称为变分法的基本引理

引理 12.2:

设 $S\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 并且设 $f,g:S\to \mathbb {R}$ 是函数，使得 $f,g\in L_{\text{loc}}^{1}(S)$ 并且 ${\mathcal {T}}_{f}={\mathcal {T}}_{g}$。那么 $f=g$ 几乎处处成立。

证明:

我们定义

$h:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,h(x):={\begin{cases}f(x)-g(x)&x\in S\\0&x\notin S\end{cases}}$

弱导数

定义 12.1:

令 $S\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为一个集合，$p\in [1,\infty ]$ 且 $f\in L^{p}(S)$。如果 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是一个 $d$ 维多重指标，且 $g\in L^{p}(S)$ 使得

$\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{f}={\mathcal {T}}_{g}$

, 我们称 $g$ 为 $f$ 的 $\alpha$ 阶弱导数。

注记 12.2：如果 $f\in L^{p}(S)$ 是一个函数，且 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是一个 $d$ 维多重指标，任何两个 $\alpha$ 阶弱导数在除零测度集以外的集合上是相等的。此外，如果 $\partial _{\alpha }f$ 存在，它也是 $f$ 的 $\alpha$ 阶弱导数。

证明:

1. 我们证明任何两个 $\alpha$ 阶弱导数在除零测度集以外的集合上是相等的。

设 $g,h\in L^{p}(S)$ 是 $f$ 的两个 $\alpha$ 阶弱导数。 那么我们有

${\mathcal {T}}_{g}=\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{f}={\mathcal {T}}_{h}$

符号 12.3 如果存在，我们将 $f$ 的 $\alpha$ 阶弱导数记为 $\partial _{\alpha }f$，这当然与普通导数的符号相同。

定理 12.4:

设 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是开集，$p\in [1,\infty ]$，$f,g\in L^{p}(O)$ 且 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。假设 $f,g$ 具有 $\alpha$ 阶弱导数，我们用符号 12.3 一致地记为 $\partial _{\alpha }f$ 和 $\partial _{\alpha }g$。 那么对于所有 $b,c\in \mathbb {R}$

$\partial _{\alpha }(bf+cg)=b\partial _{\alpha }f+c\partial _{\alpha }g$

证明:

Sobolev 空间的定义和基本性质

定义和定理 12.6:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集，$p\in [1,\infty ]$，$f,g\in L^{p}(O)$ 以及 $n\in \mathbb {N} _{0}$。Sobolev 空间 ${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 定义如下

${\mathcal {W}}^{n,p}(O):=\{f\in L^{p}(O):\forall \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}{\text{ such that }}|\alpha |\leq n:\partial _{\alpha }f{\text{ exists}}\}$

在 ${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 上的范数定义如下

$\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}:=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}$

关于此范数，${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 是一个 Banach 空间。

在上述定义中，$\partial _{\alpha }f$ 表示 $f$ 的 $\alpha$ 阶弱导数。

证明:

1.

我们证明

$\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}$

是一个范数。

我们需要检查范数的三个定义属性

• $\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}=0\Leftrightarrow f=0$（定性）
• $\|cf\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}=|c|\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}$ 对于每个 $c\in \mathbb {R}$（绝对齐次性）
• $\|f+g\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}\leq \|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}+\|g\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}$（三角不等式）

我们从定性开始：如果 $f=0$，则 $\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}=0$，因为常数零函数的所有方向导数都是零函数。此外，如果 $\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}=0$，则可以推出 $\|f\|_{L^{p}(O)}=0$，这意味着 $f=0$，因为 $\|f\|_{L^{p}(O)}$ 是一个范数。

我们接着处理绝对齐次性。令 $c\in \mathbb {R}$。

${\begin{aligned}\|cf\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}&:=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }cf\right\|_{L^{p}(O)}&\\&=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|c\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}&{\text{ theorem 12.4}}\\&=\sum _{|\alpha |\leq n}|c|\left\|\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}&{\text{ by absolute homogeneity of }}\|\cdot \|_{L^{p}(O)}\\&=|c|\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}&\\&=:|c|\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}\end{aligned}}$

还需要证明三角不等式

${\begin{aligned}\|f+g\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}&:=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }(f+g)\right\|_{L^{p}(O)}&\\&=\sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }f+\partial _{\alpha }g\right\|_{L^{p}(O)}&{\text{ theorem 12.4}}\\&\leq \sum _{|\alpha |\leq n}\left(\left\|\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}+\left\|\partial _{\alpha }g\right\|_{L^{p}(O)}\right)&{\text{ by triangle inequality of }}\|\cdot \|_{L^{p}(O)}\\&=\|f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}+\|g\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}\end{aligned}}$

2.

我们证明 ${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 是一个巴拿赫空间。

令 $(f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 是 ${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 中的柯西序列。由于对于所有 $d$ 维多重指标 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 其中 $|\alpha |\leq n$ 以及 $m,l\in \mathbb {N}$

$\|\partial _{\alpha }f_{l}-\partial _{\alpha }f_{m})\|_{L^{p}(O)}=\|\partial _{\alpha }(f_{l}-f_{m})\|_{L^{p}(O)}\leq \sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }(f_{l}-f_{m})\right\|_{L^{p}(O)}$

由于我们只添加了非负项，因此对于所有 $d$ 维的多重指标 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 且 $|\alpha |\leq n$，$(\partial _{\alpha }f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 是 $L^{p}(O)$ 中的柯西序列。由于 $L^{p}(O)$ 是一个巴拿赫空间，因此该序列在 $L^{p}(O)$ 中收敛于一个极限，我们将其记为 $f_{\alpha }$。

现在我们证明 $f:=f_{(0,\ldots ,0)}\in {\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 且 $f_{l}\to f,l\to \infty$ 关于范数 $\|\cdot \|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}$ 收敛，从而表明 ${\mathcal {W}}^{n,p}(O)$ 是一个 Banach 空间。

为此，我们证明对于所有 $d$ 维的多重指标 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 且 $|\alpha |\leq n$，$f$ 的 $\alpha$ 阶弱导数由 $f_{\alpha }$ 给出。收敛性则自动成立，因为

${\begin{aligned}f_{l}\to f,l\to \infty &\Leftrightarrow \|f_{l}-f\|_{{\mathcal {W}}^{n,p}(O)}\to 0,l\to \infty &\\&\Leftrightarrow \sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }(f_{l}-f)\right\|_{L^{p}(O)}\to 0,l\to \infty &\\&\Leftrightarrow \sum _{|\alpha |\leq n}\left\|\partial _{\alpha }f_{l}-\partial _{\alpha }f\right\|_{L^{p}(O)}\to 0,l\to \infty &{\text{by theorem 12.4}}\\\end{aligned}}$

其中最后一行所有被加数都收敛到零，前提是$\partial _{\alpha }f=f_{\alpha }$对于所有$d$维多重指标$\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$都成立，其中$|\alpha |\leq n$.

设$\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$。由于$\partial _{\alpha }f_{l}\to f_{\alpha }$，根据三角不等式

$\|\partial _{\alpha }f-f_{\alpha }\|\geq |\|\partial _{\alpha }f\|-\|f_{\alpha }\||$

，序列$(\varphi \partial _{\alpha }f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$在足够大的$l$时，被函数$2\|\varphi \|_{\infty }f_{\alpha }$支配，序列$(\partial _{\alpha }\varphi f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$被函数$2\|\partial _{\alpha }\varphi \|_{\infty }f$支配。

incomplete: Why are the dominating functions L1?

因此

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{\alpha }\varphi (x)f(x)dx=&\lim _{l\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{\alpha }\varphi (x)f_{l}(x)dx&{\text{ dominated convergence}}\\&=\lim _{l\to \infty }(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)\partial _{\alpha }f_{l}(x)dx&\\&=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)f_{\alpha }(x)dx&{\text{ dominated convergence}}\end{aligned}}$

, 这也是为什么 $f_{\alpha }$ 是 $\alpha$ 阶弱导数，对于所有 $d$ 维多重指标 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 其中 $|\alpha |\leq n$。$\Box$

用光滑函数逼近

现在我们将证明，对于任何 $L^{p}$ 函数，我们都能找到一个在 $L^{p}$ 范数意义下收敛于该函数的突起函数序列。

approximation by simple functions and lemma 12.1, ||f_eps-f|| le ||f_eps - g_eps|| + ||g_eps - g|| + ||g - f||

设 $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ 是一个区域，设 $r>0$，且 $U\subset \Omega$，使得 $U+B_{r}(0)\subseteq \Omega$。进一步设 $u\in {\mathcal {W}}^{m,p}(U)$。则 $\mu _{\epsilon }*f$ 属于 $C^{\infty }(U)$ 当 $\epsilon <r$ 且 $\lim _{\epsilon \to 0}\|\mu _{\epsilon }*f-f\|_{W^{m,p}(U)}=0$.

证明：第一个结论，即 $\mu _{\epsilon }*f\in C^{\infty }(U)$，源于以下事实：如果我们选择

${\tilde {f}}(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U\\0&x\notin U\end{cases}}$

那么，根据上述关于对 $L^{p}$-函数进行平滑化处理的部分，我们知道第一个结论是正确的。

第二个结论源于以下计算，使用了一维链式法则

${\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}(\mu _{\epsilon }*f)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\mu _{\epsilon }(y-x)f(x)dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial y^{\alpha }}}\mu _{\epsilon }(y-x)f(x)dx$

$=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\mu _{\epsilon }(y-x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial y^{\alpha }}}f(x)dx=(\mu _{\epsilon }*{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial y^{\alpha }}}f)(y)$

根据上述关于平滑化$L^{p}$-函数的部分，我们立即知道$\lim _{\epsilon \to 0}\|\mu _{\epsilon }*{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial y^{\alpha }}}f-f\|=0$，因此第二个结论可由$W^{m,p}(U)$-范数的定义得出。

令$\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为一个开集。那么对于所有函数$v\in W^{m,p}(\Omega )$，存在一个在$C^{\infty }(\Omega )\cap W^{m,p}(\Omega )$中的函数序列来逼近它。

证明:

我们选择

$U_{i}:=\{x\in \Omega :{\text{dist}}(\partial \Omega ,x)>{\frac {1}{i}}\wedge \|x\|<i\}$

以及

$V_{i}={\begin{cases}U_{3}&i=0\\U_{i+3}\setminus {\overline {U_{i+1}}}&i>0\end{cases}}$

可以看出，$V_{i}$ 是 $\Omega$ 的一个开覆盖。因此，我们可以选择一个函数序列 $({\tilde {\eta }}_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ （单位分解）使得

1. $\forall i\in \mathbb {N} :\forall x\in \Omega :0\leq {\tilde {\eta }}_{i}(x)\leq 1$
2. $\forall x\in \Omega :\exists {\text{ only finitely many }}i\in \mathbb {N} :{\tilde {\eta }}_{i}(x)\neq 0$
3. $\forall i\in \mathbb {N} :\exists j\in \mathbb {N} :{\text{supp }}{\tilde {\eta }}_{i}\subseteq V_{j}$
4. $\forall x\in \Omega :\sum _{i=0}^{\infty }{\tilde {\eta }}_{i}(x)=1$

通过定义 $\mathrm {H} _{i}:=\{{\tilde {\eta }}_{j}\in \{{\tilde {\eta }}_{m}\}_{m\in \mathbb {N} }:{\text{supp }}{\tilde {\eta }}_{j}\subseteq V_{i}\}$ 以及

$\eta _{i}(x):=\sum _{\eta \in \mathrm {H} _{i}}\eta (x)$，我们甚至得到了以下性质

1. $\forall i\in \mathbb {N} :\forall x\in \Omega :0\leq \eta _{i}(x)\leq 1$
2. $\forall x\in \Omega :\exists {\text{ only finitely many }}i\in \mathbb {N} :\eta _{i}(x)\neq 0$
3. $\forall i\in \mathbb {N} :{\text{supp }}\eta _{i}\subseteq V_{i}$
4. $\forall x\in \Omega :\sum _{i=0}^{\infty }{\tilde {\eta }}_{i}(x)=1$

其中，除了第三个属性发生了变化，其他属性与之前相同。令 $|\alpha |=1$，$\varphi$ 为一个光滑函数，$(v_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ 为一个在 $L^{p}(\Omega )$ 范数下逼近 $v$ 的序列。计算结果

$\int _{\Omega }\eta _{i}(x)v_{j}(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\varphi (x)dx=-\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}\eta _{i}(x)v_{j}(x)+\eta _{i}(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}v_{j}(x)\right)\varphi (x)dx$

表明，通过在两边取极限 $j\to \infty$，$v\in W^{m,p}(\Omega )$ 意味着 $\eta _{i}v\in W^{m,p}(\Omega )$，因为 $\eta _{i}(x){\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}v_{j}(x)$ 的极限必须在 $L^{p}(\Omega )$ 中，因为我们可以选择一个收敛到 1 的光滑函数序列 $\varphi _{k}$。

现在让我们选择

$W_{i}={\begin{cases}U_{i+4}\setminus {\overline {U_{i}}}&i\geq 1\\U_{4}&i=0\end{cases}}$

现在我们可以选择任意$\delta >0$和$\epsilon _{i}$， 它们足够小，使得

1. $\|\eta _{\epsilon _{i}}*(\eta _{i}v)-\eta _{i}v\|_{W^{m,p}(\Omega )}<\delta \cdot 2^{-(j+1)}$
2. ${\text{supp }}(\eta _{\epsilon _{i}}*(\eta _{i}v))\subset W_{i}$

现在让我们定义

$w(x):=\sum _{i=0}^{\infty }\eta _{\epsilon _{i}}*(\eta _{i}v)(x)$

这个函数是无限可微的，因为根据定义，在每个$W_{i}$上只有有限个不为零的项，而且由于积分号下的微分莱布尼兹法则，和式中的项也是无限可微的。但是我们也有

$\|w-v\|_{W^{m,p}(\Omega )}=\left\|\sum _{i=0}^{\infty }\eta _{\epsilon _{i}}*(\eta _{i}v)-\sum _{i=0}^{\infty }(\eta _{i}v)\right\|_{W^{m,p}(\Omega )}\leq \sum _{i=0}^{\infty }\|\eta _{\epsilon _{i}}*(\eta _{i}v)-\eta _{i}v\|_{W^{m,p}(\Omega )}<\delta \sum _{i=0}^{\infty }2^{-(j+1)}=\delta$

由于$\delta$是任意的，这完成了证明。

令$\Omega$为有界区域，令$\partial \Omega$具有以下性质：对于每个点$x\in \partial \Omega$，存在一个邻域${\mathcal {U}}_{x}$ 使得

$\Omega \cap {\mathcal {U}}_{x}=\{(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}:x_{i}<f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{d-1})\}$

对于连续函数 $f$。然后，$W^{m,p}(\Omega )$ 中的每一个函数都可以用 $C^{\infty }({\overline {\Omega }})$ 函数在 $W^{m,p}(\Omega )$ 范数中逼近。

证明:

to follow