范德蒙德矩阵
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对于
成对不同(即
对于
)矩阵是可逆的,如下面的定理所示
定理 10.2:
令
是与成对不同的点
相关的范德蒙德矩阵。然后矩阵
的第
个元素由下式给出

是
的逆矩阵。
证明:
我们证明
,其中
是
单位矩阵。
令
。我们首先注意到,通过直接相乘,
.
因此,如果
是矩阵
的第
个元素,那么根据矩阵乘法的定义
.
Malgrange-Ehrenpreis 定理
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引理 10.3:
设
是成对不同的。 方程的解为

由下式给出
,
.
证明:
我们用
乘以等式两边,其中
如定理 10.2 所示,由于
是 的逆矩阵。
,
我们最终得到方程
.
直接计算最后一个表达式可以得到我们想要的公式。 
练习
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来源
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