偏微分方程/Malgrange-Ehrenpreis 定理

范德蒙德矩阵

定义 10.1:

令 $n\in \mathbb {N}$ 且令 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$。然后与 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 相关的范德蒙德矩阵 定义为矩阵

${\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n}&\cdots &x_{n}^{n}\end{pmatrix}}$.

对于 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 成对不同（即 $x_{k}\neq x_{m}$ 对于 $k\neq m$）矩阵是可逆的，如下面的定理所示

定理 10.2:

令 $\mathbf {A}$ 是与成对不同的点 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 相关的范德蒙德矩阵。然后矩阵 $\mathbf {B}$ 的第 $k,m$ 个元素由下式给出

$\mathbf {b} _{k,m}:={\begin{cases}{\frac {\sum _{1\leq l_{1}<\cdots <l_{n-m}\leq n \atop l_{1},\ldots ,l_{n-m}\neq k}(-1)^{m-1}x_{l_{1}}\cdots x_{l_{n-m}}}{x_{k}\prod _{1\leq l\leq n \atop l\neq k}(x_{l}-x_{k})}}&m<n\\{\frac {1}{x_{k}\prod _{1\leq l\leq n \atop l\neq k}(x_{l}-x_{k})}}&m=n\end{cases}}$

是 $\mathbf {A}$ 的逆矩阵。

证明:

我们证明 $\mathbf {B} \mathbf {A} =\mathbf {I} _{n}$，其中 $\mathbf {I} _{n}$ 是 $n\times n$ 单位矩阵。

令 $1\leq k,m\leq n$。我们首先注意到，通过直接相乘，

$x_{m}\prod _{1\leq l\leq n \atop l\neq k}(x_{l}-x_{m})=\sum _{j=1}^{n}x_{m}^{j}{\begin{cases}\sum _{1\leq l_{1}<\cdots <l_{n-j}\leq n \atop l_{1},\ldots ,l_{n-j}\neq k}(-1)^{j-1}x_{l_{1}}\cdots x_{l_{n-j}}&j<n\\1&j=n\end{cases}}$.

因此，如果 $\mathbf {c} _{k,m}$ 是矩阵 $\mathbf {B} \mathbf {A}$ 的第 $k,m$ 个元素，那么根据矩阵乘法的定义

$\mathbf {c} _{k,m}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {x_{m}^{j}{\begin{cases}\sum _{1\leq l_{1}<\cdots <l_{n-j}\leq n \atop l_{1},\ldots ,l_{n-j}\neq k}(-1)^{j-1}x_{l_{1}}\cdots x_{l_{n-j}}&j<n\\1&j=n\end{cases}}}{x_{k}\prod _{1\leq l\leq n \atop l\neq k}(x_{l}-x_{k})}}={\frac {x_{m}\prod _{1\leq l\leq n \atop l\neq k}(x_{l}-x_{m})}{x_{k}\prod _{1\leq l\leq n \atop l\neq k}(x_{l}-x_{k})}}={\begin{cases}1&k=m\\0&k\neq m\end{cases}}$.$\Box$

Malgrange-Ehrenpreis 定理

引理 10.3:

设 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ 是成对不同的。 方程的解为

${\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n}&\cdots &x_{n}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\end{pmatrix}}$

由下式给出

$y_{k}={\frac {1}{x_{k}\prod _{1\leq l\leq n \atop l\neq k}(x_{l}-x_{k})}}$, $k\in \{1,\ldots ,n\}$.

证明:

我们用 $\mathbf {B}$ 乘以等式两边，其中 $\mathbf {B}$ 如定理 10.2 所示，由于 $\mathbf {B}$ 是 的逆矩阵。

${\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n}&\cdots &x_{n}^{n}\end{pmatrix}}$,

我们最终得到方程

${\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}=\mathbf {B} {\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\end{pmatrix}}$.

直接计算最后一个表达式可以得到我们想要的公式。 $\Box$