物理习题/二维和三维运动学/解答

无微积分

1. 这个题目中最重要的需要注意的是，水平方向上没有力：因此没有水平加速度，所以水平速度是恒定的。
   1. 根据三角函数（画个图，找到包含 的直角三角形） $v_{x}=v_{0}cos(\theta )$.
   2. 与上面相同，$v_{y}=v_{0}sin(\theta )$.
   3. 因为 $a_{x}=0$，$v_{x}=v_{0}cos(\theta )$.
   4. 注意，在最高点，炮弹既没有向上移动也没有向下移动（根据定义），因此垂直速度必须是：$v_{y}=0$.
   5. 同样，因为 $a_{x}=0$，$v_{x}=v_{0}cos(\theta )$.
   6. 找到这个的一个简单方法是通过对称性。一般来说（尤其是当最终高度与初始高度不同时），我们可以用能量守恒来计算（但你很可能还没学过这个）。$v_{y}=-v_{0}sin(\theta )$。负号表示向下方向。
2. 这道题用到了被称为伽利略相对性原理。这里用到的运算只有在速度远小于光速 c 时才近似正确，对于日常物体来说这是正确的。

   1. 5 km/h。记住速度是一个向量，需要矢量地加两个速度。根据勾股定理，她相对于岸边的速度由下式给出

      $v={\sqrt {v_{\mathrm {boat} }^{2}+v_{\mathrm {walk} }^{2}}}$.

      代入给定的数值得到上面的答案。

   2. 53.1 度。最简单的方法是将两个向量尾部相连（这样就能看到三角形）。这个角度，即两个向量之和与北向方向之间的夹角，可以用两个边的反正切比值来表示：$\theta =\arctan(4/3)$，其近似值为上面给出的值。

有微积分

1. 这个问题基本上是一个微积分练习（这就是为什么我们告诉你忽略这个问题的单位的原因——它不是很有物理意义）。

   1. 记住速度是一个标量，等于速度向量的模长。用勾股定理计算模长

      $v(t)={\sqrt {(sin(t))^{2}+e^{2t}}}$.

   2. 一般情况下，请记住

      $x(t)=\int _{0}^{t}v(t)dt'$.

      分别对每个垂直方向进行积分得到

      ${\vec {x}}(t)=-cos(t)~{\hat {x}}+e^{t}~{\hat {y}}$.

      这里，积分常数为零，因为我们从原点开始。

   3. 请记住，加速度也是一个矢量。这与上面相同，只是这次您执行导数，因为${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$。微分后，我们得到

      ${\vec {a}}(t)=cos(t)~{\hat {x}}+e^{t}~{\hat {y}}$.