物理习题/一维运动学/解答

不使用微积分

3.1 秒.

使用运动学方程 $y=y_{0}+v_{0}t+(1/2)at^{2}$ 。设岩石的初始高度 $y_{0}=0$ 。然后方程简化为 $y=t(v_{0}+(1/2)at)$ 。因此，t 有两个解：t = 0 秒和 $t=-2v_{0}/a$ 。代入 $v_{0}=15~\mathrm {m/s}$ 和 $a=-9.8~\mathrm {m/s^{2}}$ 得到 t = 3.1 秒。
设自动扶梯的长度为 L，自动扶梯的速度为 v₁，人在地面上的步行速度为 v₂。一个人站在自动扶梯上从起点到终点需要 t₁ 秒，因此 $L=v_{1}t_{1}$ 。如果这个人逆着自动扶梯行走，他的净速度为 $v_{2}-v_{1}$ ；他需要 t₂ 秒来走完自动扶梯的长度，因此 $L=(v_{2}-v_{1})t_{2}$ 。由于 $L=v_{1}t_{1}=(v_{2}-v_{1})t_{2}$ ，我们发现 $v_{1}(t_{1}+t_{2})=t_{2}v_{2}$ 或 $v_{2}=\{(t_{1}+t_{2})/t_{2}\}v_{1}$ 。现在，当这个人沿着自动扶梯向下行走时，他的净速度为 $v_{1}+v_{2}$ 。如果他这次需要 t 秒，那么 $L=(v_{1}+v_{2})t=\{1+(t_{1}+t_{2})/t_{2}\}v_{1}t$ 。将 $v_{1}$ 用已知量表示， $v_{1}=L/t_{1}$ ，并解出 t，得到
$t=(t_{1}t_{2})/(t_{1}+2t_{2})=3.75~\mathrm {s}$ .
请注意，通过尽可能用符号进行计算，我们实际上发现最终答案与 L 无关。这是在最后阶段才进行数值代入的众多优势之一。（像任何规则一样，这个规则也有例外，但要从遵循规则开始，当你足够熟练时，你会自己注意到例外。）
14.4 秒 和 200 米

设自行车的位移为 x_b，汽车的位移为 x_c。我们从运动学方程知道 $x_{f}=x_{i}+v_{i}t+(1/2)at^{2}$ 。因为我们假设自行车和汽车都以恒定速度（分别为 25 公里/小时和 50 公里/小时）运动，所以我们可以说这个等式中的加速度 (a) 为零（在两种情况下都是）。因此我们可以写出两个运动方程

自行车的方程为 $x_{b}=x_{bi}+v_{b}t$ ，而汽车的方程为 $x_{c}=x_{ci}+v_{c}t$ 。

因为我们对两个物体相遇的点感兴趣，所以我们可以放心地说，我们正在寻找 $x_{b}=x_{c}$ 的点。解这个表达式，我们得到 $x_{bi}+v_{b}t=x_{ci}+v_{c}t$ ，因此可以求得两个物体到达同一位置所需的时间为 $t=(x_{bi}-x_{ci})/(v_{c}-v_{b})$ 。在我们可以代入任何值之前，我们需要确保它们具有相同的单位，因此 25 km/hr 变为 6.944 m/s，而 50 km/hr 变为 13.888 m/s。代入这些值，我们得到 $t=(100m-0m)/(13.888m/s-6.944m/s)=14.4s$ 。

最后，为了找到他们相遇的位置，只需将这个时间值代入两个运动方程中的任何一个，我们得到 $x=0+(13.888m/s)(14.4s)=200m$ 。
18 英里/小时

灰姑娘的速度， $v_{c}$ 是 12 英里/小时。

灰姑娘使用的时间， $t_{c}$ 是 0.25 小时。

王子的速度， $v_{p}$ 未知。

王子使用的时间， $t_{p}$ 是 0.16666 小时或 $1/6h$ 。

由于他们必须相遇，所以他们所走的距离将相等，然后

$v_{c}t_{c}=v_{p}t_{p}$

$(12)(0.25)=v_{p}(1/6)$

$v_{p}=18$

使用微积分

基本方程式如下： $a={\frac {dv}{dt}}$ ， $v={\frac {dx}{dt}}$ 。由于我们的最终目标是将 *x* 表示为 *t* 的函数，我们应该先通过对第一个表达式积分来求解 *v(t)*
$v(t)=\int _{0}^{t}dv=\int _{0}^{t}a~dt'=at+v_{0}$
再次积分就得到了 *x(t)* 的最终表达式
$x(t)=\int _{0}^{t}dx=\int _{0}^{t}v~dt'=\int _{0}^{t}(at+v_{0})~dt'=(1/2)at^{2}+v_{0}t+x_{0}$ .
e cm.
位置随时间的变化可以用无限级数表示
$x=x_{0}+v_{0}t+(1/2)a_{0}t^{2}+(1/3\cdot 2)j_{0}t^{3}+\cdots$ .
当令 $x_{0}=v_{0}=a_{0}=j_{0}=\cdots =1$ 时，您应该会识别出由此产生的级数是 $e^{t}$ （乘以 1 cm）的泰勒级数
$e^{t}=1+t+(1/2)t^{2}+(1/3!)t^{3}+\cdots$ .
将 $t=1$ 代入，得到 $x=e^{1}=e~\mathrm {cm}$ 。
细心的读者会注意到，我们突然在中间放弃了单位。为了严谨起见，我们将从每个 *t* 的书面表达式中分解出“1 秒”，并将它吸收进系数（这样，*t* 就变成了无量纲的，所有系数都具有 cm 的单位）。